Номер 2.121, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.121. Упростите выражение:

a) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$;б) $\sqrt[4]{a\sqrt[5]{a}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{a^3 \sqrt[3]{a}}$, представим корни в виде степеней с дробными показателями и воспользуемся свойствами степеней. Предполагается, что $a \ge 0$.

Сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Подставим это в исходное выражение: $$ \sqrt{a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}}} $$

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), упростим выражение под корнем: $$ a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}} $$

Теперь выражение имеет вид $\sqrt{a^{\frac{10}{3}}}$. Представим квадратный корень как степень $\frac{1}{2}$ и воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$): $$ (a^{\frac{10}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{10}{6}} = a^{\frac{5}{3}} $$

Мы получили степень с неправильной дробью в показателе. Чтобы выделить целую часть, представим дробь $\frac{5}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} = 1 + \frac{2}{3}$. Это позволяет вынести множитель из-под знака корня: $$ a^{\frac{5}{3}} = a^{1+\frac{2}{3}} = a^1 \cdot a^{\frac{2}{3}} = a\sqrt[3]{a^2} $$ В данном выражении целая часть 1 показателя степени вынесена в виде множителя $a^1$.

Ответ: $a\sqrt[3]{a^2}$

б) Аналогично упростим выражение $\sqrt[4]{a^5 \sqrt{a}}$. Предполагается, что $a \ge 0$.

Представим корни в виде степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[4]{...} = (...)^{\frac{1}{4}}$. $$ \sqrt[4]{a^5 \sqrt{a}} = (a^5 \cdot a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} $$

Упростим выражение в скобках, сложив показатели степеней: $$ a^5 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{5 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{10}{2} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{2}} $$

Теперь возведем результат в степень $\frac{1}{4}$: $$ (a^{\frac{11}{2}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{2} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{8}} $$

Показатель степени $\frac{11}{8}$ — это неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} = 1 + \frac{3}{8}$. Преобразуем итоговое выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $$ a^{\frac{11}{8}} = a^{1+\frac{3}{8}} = a^1 \cdot a^{\frac{3}{8}} = a\sqrt[8]{a^3} $$ Здесь также целая часть 1 показателя степени вынесена в виде множителя $a^1$.

Ответ: $a\sqrt[8]{a^3}$