Номер 2.116, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.116. Вынесите множитель за знак корня:

а) $ \sqrt[4]{a^5} $;

б) $ \sqrt[6]{-b^7} $;

в) $ \sqrt[4]{x^{13}y^{17}} $;

г) $ \sqrt[8]{-2m^{25}} $.

Чтобы вынести множитель за знак корня n-ой степени, нужно представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются точной n-ой степенью. Общее правило: $\sqrt[n]{A^k} = A^q \sqrt[n]{A^r}$, где $k = n \cdot q + r$. Если $n$ - четное число, то $\sqrt[n]{B^n} = |B|$.

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^5}$. Показатель корня $n=4$ - четное число. Выражение имеет смысл при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $a^5 \ge 0$. Так как степень 5 нечетная, это условие равносильно $a \ge 0$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим степень $a^5$ в виде произведения. Для этого разделим степень 5 на показатель корня 4:

$5 = 4 \cdot \mathbf{1} + 1$

Целая часть от деления равна 1, остаток 1. Таким образом, $a^5 = a^{4 \cdot 1} \cdot a^1 = a^4 \cdot a$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{a^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{a}$

Так как показатель корня 4 - четное число, $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Учитывая, что из области определения мы нашли $a \ge 0$, имеем $|a|=a$.

Следовательно, $\sqrt[4]{a^5} = a\sqrt[4]{a}$.

Ответ: $a\sqrt[4]{a}$

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{-b^7}$. Показатель корня $n=6$ - четное число. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-b^7 \ge 0$, что эквивалентно $b^7 \le 0$. Так как степень 7 нечетная, это условие выполняется при $b \le 0$.

Чтобы вынести множитель, представим подкоренное выражение $-b^7$ в удобном виде. Заметим, что $-b^7 = (-b) \cdot b^6$. Поскольку $b \le 0$, то $-b \ge 0$, и выражение $\sqrt[6]{-b}$ определено.

Разделим степень множителя $b^7$ на показатель корня 6:

$7 = 6 \cdot \mathbf{1} + 1$

Целая часть от деления равна 1, остаток 1. Таким образом, $b^7 = b^6 \cdot b^1$.

Преобразуем выражение:

$\sqrt[6]{-b^7} = \sqrt[6]{b^6 \cdot (-b)} = \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{-b}$

Так как показатель корня 6 - четный, $\sqrt[6]{b^6} = |b|$.

Из области определения мы знаем, что $b \le 0$, поэтому $|b| = -b$.

Следовательно, $\sqrt[6]{-b^7} = (-b)\sqrt[6]{-b}$.

Ответ: $(-b)\sqrt[6]{-b}$

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{x^{13}y^{17}}$. Показатель корня $n=4$ - четное число. Выражение имеет смысл при $x^{13}y^{17} \ge 0$. Это возможно в двух случаях: 1) $x \ge 0$ и $y \ge 0$; 2) $x \le 0$ и $y \le 0$. В обоих случаях произведение $xy \ge 0$, поэтому корень $\sqrt[4]{xy}$ определен.

Чтобы вынести множители из-под знака корня, разделим степени переменных на показатель корня 4:

Для $x^{13}$: $13 = 4 \cdot \mathbf{3} + 1$. Целая часть 3, остаток 1. Значит, $x^{13} = x^{12} \cdot x$.

Для $y^{17}$: $17 = 4 \cdot \mathbf{4} + 1$. Целая часть 4, остаток 1. Значит, $y^{17} = y^{16} \cdot y$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{x^{13}y^{17}} = \sqrt[4]{(x^{12} \cdot x) \cdot (y^{16} \cdot y)} = \sqrt[4]{x^{12} \cdot y^{16} \cdot xy}$

Используя свойство корня из произведения, получаем:

$\sqrt[4]{x^{12}} \cdot \sqrt[4]{y^{16}} \cdot \sqrt[4]{xy} = \sqrt[4]{(x^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(y^4)^4} \cdot \sqrt[4]{xy}$

Поскольку показатель корня 4 - четный, $\sqrt[4]{(x^3)^4} = |x^3|$ и $\sqrt[4]{(y^4)^4} = |y^4|$.

Выражение $y^4 = (y^2)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|y^4| = y^4$.

Таким образом, получаем: $|x^3|y^4\sqrt[4]{xy}$.

Ответ: $|x^3|y^4\sqrt[4]{xy}$

Рассмотрим выражение $\sqrt[8]{-2m^{25}}$. Показатель корня $n=8$ - четное число. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-2m^{25} \ge 0$, что эквивалентно $m^{25} \le 0$. Так как степень 25 нечетная, это условие выполняется при $m \le 0$.

Множитель $-2$ не является точной восьмой степенью, поэтому он останется под корнем. Вынесем множитель, зависящий от $m$. Для этого разделим степень 25 на показатель корня 8:

$25 = 8 \cdot \mathbf{3} + 1$.

Целая часть от деления равна 3, остаток 1. Следовательно, $m^{25} = m^{24} \cdot m^1$.

Преобразуем выражение:

$\sqrt[8]{-2m^{25}} = \sqrt[8]{-2 \cdot m^{24} \cdot m} = \sqrt[8]{m^{24} \cdot (-2m)}$

$\sqrt[8]{m^{24}} \cdot \sqrt[8]{-2m} = \sqrt[8]{(m^3)^8} \cdot \sqrt[8]{-2m}$

Так как показатель корня 8 - четный, $\sqrt[8]{(m^3)^8} = |m^3|$.

Из области определения мы знаем, что $m \le 0$. При $m \le 0$ выражение $m^3$ также будет меньше либо равно нулю ($m^3 \le 0$), поэтому $|m^3| = -m^3$.

Следовательно, $\sqrt[8]{-2m^{25}} = -m^3\sqrt[8]{-2m}$.

Ответ: $-m^3\sqrt[8]{-2m}$