Номер 2.111, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.111. Вынесите множитель за знак корня:

а) $ \sqrt[4]{7a^4}; $

б) $ \sqrt[6]{13b^{12}}; $

в) $ \sqrt[4]{32m^4n^{12}}; $

г) $ \sqrt[3]{27ck^6d^9}. $

Для того чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь корень данной степени. Общее правило для вынесения множителя $a^k$ из-под корня степени $n$: $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$. Если $k$ делится на $n$ нацело, множитель выходит полностью. Если нет, то $k$ можно представить в виде $k=nq+r$, где $q$ — целая часть от деления $k$ на $n$, а $r$ — остаток. Тогда $\sqrt[n]{a^k} = \sqrt[n]{a^{nq+r}} = \sqrt[n]{(a^q)^n a^r} = a^q\sqrt[n]{a^r}$. Важно помнить, что при извлечении корня четной степени из выражения с переменной, результат следует брать по модулю, если полученная степень переменной нечетная.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{7a^4}$, воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{AB} = \sqrt[n]{A}\sqrt[n]{B}$:

$\sqrt[4]{7a^4} = \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{a^4}$

Степень корня $n=4$ — четная. При извлечении корня четной степени из выражения в четной степени, результат берется по модулю: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Множитель $\sqrt[4]{7}$ не может быть упрощен, так как 7 не является точной четвертой степенью какого-либо рационального числа.

Ответ: $|a|\sqrt[4]{7}$

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{13b^{12}}$. Разделим корень на множители:

$\sqrt[6]{13b^{12}} = \sqrt[6]{13} \cdot \sqrt[6]{b^{12}}$

Для вынесения переменной $b$ из-под знака корня воспользуемся свойством степеней $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[6]{b^{12}} = b^{\frac{12}{6}} = b^2$

Степень корня $n=6$ — четная, однако, поскольку результат $b^2$ всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$), знак модуля не требуется. Множитель $\sqrt[6]{13}$ не упрощается.

Ответ: $b^2\sqrt[6]{13}$

В выражении $\sqrt[4]{32m^4n^{12}}$ разложим подкоренное выражение на множители, которые являются точными четвертыми степенями.

Число 32 можно представить как $16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.

Степень $n^{12}$ можно представить как $(n^3)^4$.

Перепишем исходное выражение:

$\sqrt[4]{32m^4n^{12}} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot 2) \cdot m^4 \cdot (n^3)^4} = \sqrt[4]{2^4 \cdot m^4 \cdot (n^3)^4 \cdot 2}$

Выносим множители из-под знака корня. Так как степень корня $n=4$ четная, для множителей с переменными, которые в результате имеют нечетную степень, используем модуль:

$\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{(n^3)^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 2 \cdot |m| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[4]{2}$

Ответ: $2|m||n^3|\sqrt[4]{2}$

В выражении $\sqrt[3]{27ck^6d^9}$ степень корня $n=3$ — нечетная, поэтому модуль при вынесении множителей не используется.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$\sqrt[3]{27ck^6d^9} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{c} \cdot \sqrt[3]{k^6} \cdot \sqrt[3]{d^9}$

Упростим каждый множитель:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{k^6} = k^{\frac{6}{3}} = k^2$

$\sqrt[3]{d^9} = d^{\frac{9}{3}} = d^3$

Множитель $\sqrt[3]{c}$ не упрощается, так как степень переменной $c$ (равная 1) меньше степени корня (равной 3), и он остается под знаком корня.

Собираем полученные множители вместе:

Ответ: $3k^2d^3\sqrt[3]{c}$