Номер 2.110, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.110. Упростите выражение:

а) $16\sqrt[3]{24}$;

б) $\frac{5}{6}\sqrt[3]{54}$;

в) $-0,5\sqrt[4]{48}$;

г) $\frac{\sqrt[5]{200000}}{5}$;

д) $-\frac{5\sqrt[5]{96}}{6}$;

е) $-\frac{\sqrt[7]{640}}{8}$.

а) Чтобы упростить выражение $16\sqrt[3]{24}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся кубом целого числа.
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение: $16 \cdot (2\sqrt[3]{3}) = (16 \cdot 2) \cdot \sqrt[3]{3} = 32\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $32\sqrt[3]{3}$.

б) Упростим выражение $\frac{5}{6}\sqrt[3]{54}$. Разложим подкоренное выражение 54 на множители: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{5}{6} \cdot (3\sqrt[3]{2}) = \frac{5 \cdot 3}{6}\sqrt[3]{2} = \frac{15}{6}\sqrt[3]{2}$.
Сократим дробный коэффициент $\frac{15}{6}$ на 3, получим $\frac{5}{2}$. Выражение примет вид $\frac{5}{2}\sqrt[3]{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}$.

в) Упростим выражение $-0,5\sqrt[4]{48}$. Разложим 48 на множители, выделив множитель, являющийся четвертой степенью целого числа: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}$.
Подставим в выражение и вычислим: $-0,5 \cdot (2\sqrt[4]{3}) = (-0,5 \cdot 2)\sqrt[4]{3} = -1\sqrt[4]{3} = -\sqrt[4]{3}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{3}$.

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt[5]{200000}}{5}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $200000 = 2 \cdot 100000 = 2 \cdot 10^5$.
Вынесем множитель из-под знака корня пятой степени: $\sqrt[5]{200000} = \sqrt[5]{2 \cdot 10^5} = \sqrt[5]{10^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 10\sqrt[5]{2}$.
Подставим полученное значение в дробь и сократим: $\frac{10\sqrt[5]{2}}{5} = \frac{10}{5}\sqrt[5]{2} = 2\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{2}$.

д) Упростим выражение $-\frac{5\sqrt[5]{96}}{6}$. Разложим 96 на множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt[5]{96} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3} = 2\sqrt[5]{3}$.
Подставим в выражение: $-\frac{5 \cdot (2\sqrt[5]{3})}{6} = -\frac{10\sqrt[5]{3}}{6}$.
Сократим дробь $\frac{10}{6}$ на 2, получим $\frac{5}{3}$. Выражение станет $-\frac{5}{3}\sqrt[5]{3}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $-1\frac{2}{3}\sqrt[5]{3}$.

е) Упростим выражение $-\frac{\sqrt[7]{640}}{8}$. Разложим 640 на множители: $640 = 64 \cdot 10 = 2^6 \cdot 2 \cdot 5 = 2^7 \cdot 5$.
Вынесем множитель из-под знака корня седьмой степени: $\sqrt[7]{640} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 5} = 2\sqrt[7]{5}$.
Подставим в дробь и сократим: $-\frac{2\sqrt[7]{5}}{8} = -\frac{2}{8}\sqrt[7]{5} = -\frac{1}{4}\sqrt[7]{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\sqrt[7]{5}$.