Номер 2.108, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.108. Докажите, что значение выражения $\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ является рациональным числом.

Для доказательства того, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его вычислить и показать, что результат является рациональным числом (т.е. может быть представлен в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ - целое, а $q$ - натуральное число).

Упростим данное выражение. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

$$ \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}-1} $$

Первую дробь умножаем на $(2-\sqrt{3})$, вторую — на $(\sqrt{3}+1)$:

$$ \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + \frac{2 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} $$

Применяем в знаменателях формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$ \frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2} + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} $$

Продолжаем упрощение:

$$ \frac{2-\sqrt{3}}{1} + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+1) $$

Складываем полученные выражения, раскрывая скобки:

$$ 2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1 = (2+1) + (-\sqrt{3}+\sqrt{3}) = 3 $$

В результате вычислений получили число 3. Поскольку любое целое число является рациональным ($3=\frac{3}{1}$), то утверждение доказано. Ответ: 3