Номер 2.113, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.113. Зная, что $a \ge 0$, $b \le 0$, вынесите множитель за знак корня в выражении:

а) $\sqrt[4]{2a^4}$;

б) $\sqrt[6]{7b^6}$;

в) $\sqrt[4]{32a^{12}b^8}$;

г) $\sqrt[8]{256a^{17}b^{16}}$;

д) $\sqrt[10]{5a^{20}b^{40}}$;

е) $\sqrt[8]{2a^{24}b}$.

Основное правило для вынесения множителя из-под знака корня четной степени $n$: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. Знак модуля раскрывается в зависимости от знака переменной $x$. По условию задачи $a \ge 0$ и $b \le 0$.

а) Для выражения $\sqrt[4]{2a^4}$, выносим $a^4$ из-под корня 4-й степени: $\sqrt[4]{2a^4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{a^4} = |a|\sqrt[4]{2}$. Так как по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Ответ: $a\sqrt[4]{2}$

б) Для выражения $\sqrt[6]{7b^6}$, выносим $b^6$ из-под корня 6-й степени: $\sqrt[6]{7b^6} = \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{b^6} = |b|\sqrt[6]{7}$. Так как по условию $b \le 0$, то $|b| = -b$.
Ответ: $-b\sqrt[6]{7}$

в) Для выражения $\sqrt[4]{32a^{12}b^8}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 4, чтобы вынести их за знак корня. $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$ $a^{12} = (a^3)^4$ $b^8 = (b^2)^4$ $\sqrt[4]{32a^{12}b^8} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^2)^4} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \cdot 2} = |2| \cdot |a^3| \cdot |b^2| \cdot \sqrt[4]{2}$. Раскрываем модули: $|2|=2$. $a \ge 0 \implies a^3 \ge 0 \implies |a^3| = a^3$. $b^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^2| = b^2$.
Ответ: $2a^3b^2\sqrt[4]{2}$

г) Для выражения $\sqrt[8]{256a^{17}b^{16}}$, выделяем степени, кратные 8. $256 = 2^8$ $a^{17} = a^{16+1} = a^{16} \cdot a = (a^2)^8 \cdot a$ $b^{16} = (b^2)^8$ $\sqrt[8]{256a^{17}b^{16}} = \sqrt[8]{2^8 \cdot (a^2)^8 \cdot (b^2)^8 \cdot a} = |2| \cdot |a^2| \cdot |b^2| \cdot \sqrt[8]{a}$. Раскрываем модули: $|2|=2$. $|a^2|=a^2$ (квадрат любого числа неотрицателен). $|b^2|=b^2$ (квадрат любого числа неотрицателен).
Ответ: $2a^2b^2\sqrt[8]{a}$

д) Для выражения $\sqrt[10]{5a^{20}b^{40}}$, выделяем степени, кратные 10. $a^{20} = (a^2)^{10}$ $b^{40} = (b^4)^{10}$ $\sqrt[10]{5a^{20}b^{40}} = \sqrt[10]{5 \cdot (a^2)^{10} \cdot (b^4)^{10}} = |a^2| \cdot |b^4| \cdot \sqrt[10]{5}$. Раскрываем модули: $|a^2|=a^2$ (четная степень). $|b^4|=b^4$ (четная степень).
Ответ: $a^2b^4\sqrt[10]{5}$

е) Для выражения $\sqrt[8]{2a^{24}b^{40}}$, выделяем степени, кратные 8. $a^{24} = (a^3)^8$ $b^{40} = (b^5)^8$ $\sqrt[8]{2a^{24}b^{40}} = \sqrt[8]{2 \cdot (a^3)^8 \cdot (b^5)^8} = |a^3| \cdot |b^5| \cdot \sqrt[8]{2}$. Раскрываем модули с учетом условий $a \ge 0, b \le 0$: $a \ge 0 \implies a^3 \ge 0 \implies |a^3| = a^3$. $b \le 0 \implies b^5 \le 0 \implies |b^5| = -b^5$.
Ответ: $-a^3b^5\sqrt[8]{2}$