Номер 2.112, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.112. Укажите несколько значений переменной, для которых верно равенство:

а) $\sqrt[4]{7k^4} = k\sqrt[4]{7}$;

б) $\sqrt[6]{3p^6} = -p\sqrt[6]{3}$;

В) $\sqrt[8]{2m^{16}} = m^2\sqrt[8]{2}$;

Г) $\sqrt[5]{7a^{15}} = a^3\sqrt[5]{7}$.

а) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{7k^4} = k\sqrt[4]{7}$.
При вынесении множителя из-под знака корня четной степени (в данном случае, 4-й) используется свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt[4]{7k^4} = \sqrt[4]{k^4} \cdot \sqrt[4]{7} = |k|\sqrt[4]{7}$.
Теперь исходное равенство можно записать в виде: $|k|\sqrt[4]{7} = k\sqrt[4]{7}$.
Разделив обе части на $\sqrt[4]{7}$ (поскольку $\sqrt[4]{7} \neq 0$), получаем $|k| = k$.
Это равенство верно тогда и только тогда, когда переменная $k$ принимает неотрицательные значения.
Ответ: равенство верно для всех $k \ge 0$, например, при $k=0$, $k=2$, $k=15$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt[6]{3p^6} = -p\sqrt[6]{3}$.
Так как корень 6-й степени является корнем четной степени, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[6]{3p^6} = \sqrt[6]{p^6} \cdot \sqrt[6]{3} = |p|\sqrt[6]{3}$.
Подставим это в исходное равенство: $|p|\sqrt[6]{3} = -p\sqrt[6]{3}$.
Разделив обе части на $\sqrt[6]{3}$, получаем $|p| = -p$.
Это равенство верно тогда и только тогда, когда переменная $p$ принимает неположительные значения.
Ответ: равенство верно для всех $p \le 0$, например, при $p=0$, $p=-1$, $p=-10$.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt[8]{2m^{16}} = m^2\sqrt[8]{2}$.
Корень в левой части 8-й степени, то есть четной. Представим подкоренное выражение $m^{16}$ в виде $(m^2)^8$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[8]{2m^{16}} = \sqrt[8]{2(m^2)^8} = \sqrt[8]{(m^2)^8} \cdot \sqrt[8]{2} = |m^2|\sqrt[8]{2}$.
Поскольку выражение $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$) при любом действительном значении $m$, то его модуль равен самому выражению: $|m^2|=m^2$.
Следовательно, левая часть равна $m^2\sqrt[8]{2}$, и мы получаем тождество $m^2\sqrt[8]{2} = m^2\sqrt[8]{2}$.
Это равенство верно для любого действительного числа.
Ответ: равенство верно для любого действительного числа $m$, например, при $m=-5$, $m=0$, $m=5$.

г) Рассмотрим равенство $\sqrt[5]{7a^{15}} = a^3\sqrt[5]{7}$.
При вынесении множителя из-под знака корня нечетной степени (в данном случае, 5-й) используется свойство $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$.
Представим подкоренное выражение $a^{15}$ в виде $(a^3)^5$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[5]{7a^{15}} = \sqrt[5]{7(a^3)^5} = \sqrt[5]{(a^3)^5} \cdot \sqrt[5]{7} = a^3\sqrt[5]{7}$.
Мы получили тождество $a^3\sqrt[5]{7} = a^3\sqrt[5]{7}$, которое верно при любых действительных значениях переменной $a$.
Ответ: равенство верно для любого действительного числа $a$, например, при $a=-2$, $a=0$, $a=3$.