Номер 2.114, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.114. Вынесите множитель за знак корня в выражении:

а) $\sqrt[3]{5a^3}$;

б) $\sqrt[3]{b^4}$;

в) $\sqrt[5]{m^7}$;

Г) $\sqrt[5]{x^5y^{16}}$;

Д) $\sqrt[5]{a^{11}b^6}$;

е) $\sqrt[3]{-54m^5n^9}$.

Для того чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь корень данной степени. Используется свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и правило $\sqrt[n]{x^k} = x^{k/n}$. Если степень $k$ больше или равна показателю корня $n$, то можно вынести множитель $x$ за знак корня. Для этого показатель степени $k$ делят на показатель корня $n$. Целая часть от деления будет показателем степени множителя, вынесенного за знак корня, а остаток от деления — показателем степени множителя, оставшегося под знаком корня.

а) В выражении $\sqrt[3]{5a^3}$ представим подкоренное выражение как произведение: $5 \cdot a^3$.

$\sqrt[3]{5a^3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{a^3}$.

Поскольку показатель степени у $a$ равен показателю корня ($3$), множитель $a$ можно вынести за знак корня. Делим показатель степени на показатель корня: $3 \div 3 = 1$ (целая часть) и $0$ (остаток). Таким образом, $\sqrt[3]{a^3} = a^1 = a$.

Из числа 5 корень третьей степени без остатка не извлекается, поэтому оно остается под знаком корня.

Ответ: $a\sqrt[3]{5}$

б) В выражении $\sqrt[3]{b^4}$ показатель степени $4$ больше показателя корня $3$.

Разделим показатель степени на показатель корня: $4 \div 3 = 1$ (целая часть) и $1$ (остаток). Значит, за знак корня выносится $b^1$, а под корнем остается $b^1$.

$\sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^{3+1}} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b^1} = \sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{b} = b\sqrt[3]{b}$.

Ответ: $b\sqrt[3]{b}$

в) В выражении $\sqrt[5]{m^7}$ показатель степени $7$ больше показателя корня $5$.

Разделим $7$ на $5$: $7 \div 5 = 1$ (целая часть) и $2$ (остаток).

Значит, за знак корня выносится $m^1$, а под корнем остается $m^2$.

$\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5} \cdot \sqrt[5]{m^2} = m\sqrt[5]{m^2}$.

Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$

г) В выражении $\sqrt[5]{x^5y^{16}}$ рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для $x^5$: показатель степени $5$ равен показателю корня $5$. $5 \div 5 = 1$ (целая часть) и $0$ (остаток). Выносим $x^1$.

$\sqrt[5]{x^5} = x$.

Для $y^{16}$: показатель степени $16$ больше показателя корня $5$. $16 \div 5 = 3$ (целая часть) и $1$ (остаток). Выносим $y^3$, под корнем остается $y^1$.

$\sqrt[5]{y^{16}} = \sqrt[5]{y^{15} \cdot y^1} = y^3\sqrt[5]{y}$.

Собираем вместе: $\sqrt[5]{x^5y^{16}} = \sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{y^{16}} = x \cdot y^3\sqrt[5]{y}$.

Ответ: $xy^3\sqrt[5]{y}$

д) В выражении $\sqrt[5]{a^{11}b^6}$ рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для $a^{11}$: $11 \div 5 = 2$ (целая часть) и $1$ (остаток). Выносим $a^2$, под корнем остается $a^1$.

$\sqrt[5]{a^{11}} = \sqrt[5]{a^{10} \cdot a^1} = a^2\sqrt[5]{a}$.

Для $b^6$: $6 \div 5 = 1$ (целая часть) и $1$ (остаток). Выносим $b^1$, под корнем остается $b^1$.

$\sqrt[5]{b^6} = \sqrt[5]{b^5 \cdot b^1} = b\sqrt[5]{b}$.

Собираем вместе: $\sqrt[5]{a^{11}b^6} = a^2\sqrt[5]{a} \cdot b\sqrt[5]{b} = a^2b\sqrt[5]{ab}$.

Ответ: $a^2b\sqrt[5]{ab}$

е) В выражении $\sqrt[3]{-54m^5n^9}$ рассмотрим каждый множитель.

Для числового множителя $-54$: разложим его на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа. $-54 = -27 \cdot 2 = (-3)^3 \cdot 2$.

$\sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 2} = -3\sqrt[3]{2}$.

Для $m^5$: $5 \div 3 = 1$ (целая часть) и $2$ (остаток). Выносим $m^1$, под корнем остается $m^2$.

$\sqrt[3]{m^5} = \sqrt[3]{m^3 \cdot m^2} = m\sqrt[3]{m^2}$.

Для $n^9$: $9 \div 3 = 3$ (целая часть) и $0$ (остаток). Выносим $n^3$.

$\sqrt[3]{n^9} = n^{9/3} = n^3$.

Собираем все вместе: $\sqrt[3]{-54m^5n^9} = (-3\sqrt[3]{2}) \cdot (m\sqrt[3]{m^2}) \cdot n^3 = -3mn^3\sqrt[3]{2m^2}$.

Ответ: $-3mn^3\sqrt[3]{2m^2}$