Номер 2.107, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.107. Упростите выражение $\sqrt{50}-5\sqrt{8}+\sqrt{18}+3\sqrt{2}$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все слагаемые, содержащие квадратные корни, к одному и тому же подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в каждом члене выражения.

Исходное выражение:

$$ \sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{18} + 3\sqrt{2} $$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. Разложим число 50 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом: $50 = 25 \cdot 2$.
   $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
2. Упростим член $5\sqrt{8}$. Наибольший полный квадрат, являющийся делителем 8, это 4: $8 = 4 \cdot 2$.
   $ 5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}) = 5 \cdot (2\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} $
3. Упростим $\sqrt{18}$. Наибольший полный квадрат, являющийся делителем 18, это 9: $18 = 9 \cdot 2$.
   $ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
4. Член $3\sqrt{2}$ уже представлен в простейшем виде.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$$ 5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} $$

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$. Мы можем сложить их коэффициенты:

$$ (5 - 10 + 3 + 3)\sqrt{2} $$

Выполним арифметические действия в скобках:

$$ (-5 + 6)\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} $$

Ответ: $\sqrt{2}$.