Номер 2.104, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.104. На рисунке 119 изображен график функции $y = f(x)$, заданной на отрезке $[-6; 6]$. Постройте график функции:

а) $y = f(x - 2)$;

б) $y = f(x + 1)$;

в) $y = f(x) - 3$;

г) $y = f(x) + 4$.

Рис. 119

Для решения данной задачи необходимо применить правила преобразования графиков функций. Исходный график функции $y = f(x)$ задан на отрезке $[-6; 6]$. Определим его ключевые точки:

• Начало графика: $(-6, -2)$
• Первый локальный максимум: $(-3, 3)$
• Локальный минимум: $(0, 1)$
• Второй локальный максимум: $(3, 4)$
• Конец графика: $(6, 0)$

Теперь построим графики для каждой из заданных функций.

а) $y = f(x - 2)$
Это преобразование вида $y = f(x - a)$, где $a = 2$. График такой функции получается путем сдвига (параллельного переноса) исходного графика $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).
Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переместится в точку $(x_0 + 2, y_0)$.

• $(-6, -2) \rightarrow (-6+2, -2) = (-4, -2)$
• $(-3, 3) \rightarrow (-3+2, 3) = (-1, 3)$
• $(0, 1) \rightarrow (0+2, 1) = (2, 1)$
• $(3, 4) \rightarrow (3+2, 4) = (5, 4)$
• $(6, 0) \rightarrow (6+2, 0) = (8, 0)$

Область определения новой функции будет $[-6+2; 6+2]$, то есть $[-4; 8]$.
Ответ: График функции $y = f(x - 2)$ получается сдвигом исходного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

б) $y = f(x + 1)$
Это преобразование вида $y = f(x + a)$, где $a = 1$. График такой функции получается путем сдвига исходного графика $y = f(x)$ на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс (оси Ox).
Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переместится в точку $(x_0 - 1, y_0)$.

• $(-6, -2) \rightarrow (-6-1, -2) = (-7, -2)$
• $(-3, 3) \rightarrow (-3-1, 3) = (-4, 3)$
• $(0, 1) \rightarrow (0-1, 1) = (-1, 1)$
• $(3, 4) \rightarrow (3-1, 4) = (2, 4)$
• $(6, 0) \rightarrow (6-1, 0) = (5, 0)$

Область определения новой функции будет $[-6-1; 6-1]$, то есть $[-7; 5]$.
Ответ: График функции $y = f(x + 1)$ получается сдвигом исходного графика на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

в) $y = f(x) - 3$
Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c = -3$. График такой функции получается путем сдвига исходного графика $y = f(x)$ на $|c|$ единиц вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переместится в точку $(x_0, y_0 - 3)$.

• $(-6, -2) \rightarrow (-6, -2-3) = (-6, -5)$
• $(-3, 3) \rightarrow (-3, 3-3) = (-3, 0)$
• $(0, 1) \rightarrow (0, 1-3) = (0, -2)$
• $(3, 4) \rightarrow (3, 4-3) = (3, 1)$
• $(6, 0) \rightarrow (6, 0-3) = (6, -3)$

Область определения при вертикальном сдвиге не меняется и остается $[-6; 6]$.
Ответ: График функции $y = f(x) - 3$ получается сдвигом исходного графика на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

г) $y = f(x) + 4$
Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c = 4$. График такой функции получается путем сдвига исходного графика $y = f(x)$ на $c$ единиц вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переместится в точку $(x_0, y_0 + 4)$.

• $(-6, -2) \rightarrow (-6, -2+4) = (-6, 2)$
• $(-3, 3) \rightarrow (-3, 3+4) = (-3, 7)$
• $(0, 1) \rightarrow (0, 1+4) = (0, 5)$
• $(3, 4) \rightarrow (3, 4+4) = (3, 8)$
• $(6, 0) \rightarrow (6, 0+4) = (6, 4)$

Область определения при вертикальном сдвиге не меняется и остается $[-6; 6]$.
Ответ: График функции $y = f(x) + 4$ получается сдвигом исходного графика на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.