Номер 2.105, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.105. Вычислите:

a) $ \text{tg}\left(2\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right); $

б) $ \text{ctg}\left(2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right). $

а) Вычислим значение выражения $tg\left(2\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$.
1. Найдем значение $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. По определению, арккосинус числа $x$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.
Нам нужен угол $\alpha \in [0, \pi]$ такой, что $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этому условию соответствует угол $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$tg\left(2 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) = tg\left(\frac{10\pi}{6}\right) = tg\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.

3. Вычислим значение тангенса, используя формулу приведения:
$tg\left(\frac{5\pi}{3}\right) = tg\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Так как тангенс является нечетной функцией, $tg(-x) = -tg(x)$, то:
$tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Вычислим значение выражения $ctg\left(2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$.
1. Найдем значение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. По определению, арксинус числа $x$ — это угол $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $x$.
Нам нужен угол $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ такой, что $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этому условию соответствует угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$ctg\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = ctg\left(-\frac{2\pi}{4}\right) = ctg\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Вычислим значение котангенса. Котангенс является нечетной функцией, $ctg(-x) = -ctg(x)$:
$ctg\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -ctg\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как $ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, то $ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{0}{1} = 0$.
Следовательно, $ctg\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: $0$