Номер 2.101, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.101. Зная, что $a \ge 0, b \le 0$, вынесите множитель за знак корня в выражении:

a) $\sqrt{3a^2}$;

б) $\sqrt{7b^2}$;

в) $\sqrt{50a^6b^4}$;

г) $\sqrt{\frac{49}{64}a^5b^2}$.

Основное правило, которое используется для вынесения множителя из-под знака корня, — это свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$.

Модуль раскрывается следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$
• $|x| = -x$, если $x < 0$

В условии задачи дано, что $a \ge 0$ и $b \le 0$. Это означает, что при раскрытии модулей мы будем использовать следующие правила:

• $|a| = a$
• $|b| = -b$ (так как $b$ — неположительное число, $-b$ будет неотрицательным)

а) $\sqrt{3a^2}$
Применяем свойство корня произведения: $\sqrt{3a^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2}$.
Далее используем правило $\sqrt{a^2} = |a|$.
Получаем: $\sqrt{3} \cdot |a|$.
Так как по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставляем и получаем окончательный результат: $\sqrt{3} \cdot a = a\sqrt{3}$.
Ответ: $a\sqrt{3}$.

б) $\sqrt{7b^2}$
Применяем свойство корня произведения: $\sqrt{7b^2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{b^2}$.
Далее используем правило $\sqrt{b^2} = |b|$.
Получаем: $\sqrt{7} \cdot |b|$.
Так как по условию $b \le 0$, то $|b| = -b$.
Подставляем и получаем окончательный результат: $\sqrt{7} \cdot (-b) = -b\sqrt{7}$.
Ответ: $-b\sqrt{7}$.

в) $\sqrt{50a^6b^4}$
Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$50a^6b^4 = 25 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2$.
Теперь извлекаем корень:
$\sqrt{25 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |a^3| \cdot |b^2| \cdot \sqrt{2}$.
Раскроем модули:
Поскольку $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, следовательно $|a^3| = a^3$.
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $b^2 \ge 0$, и $|b^2| = b^2$.
Подставляем полученные выражения: $5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot \sqrt{2} = 5a^3b^2\sqrt{2}$.
Ответ: $5a^3b^2\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{\frac{49}{64}a^5b^2}$
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты. Обратим внимание, что $a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$.
$\sqrt{\frac{49}{64}a^4ab^2} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 \cdot a}$.
Выносим множители из-под знака корня:
$\sqrt{\frac{49}{64}} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{a} = \frac{7}{8} \cdot |a^2| \cdot |b| \cdot \sqrt{a}$.
Раскроем модули:
$a^2 \ge 0$ для любого $a$, поэтому $|a^2| = a^2$.
По условию $b \le 0$, поэтому $|b| = -b$.
Подставляем и получаем окончательный результат: $\frac{7}{8} \cdot a^2 \cdot (-b) \cdot \sqrt{a} = -\frac{7}{8}a^2b\sqrt{a}$.
Ответ: $-\frac{7}{8}a^2b\sqrt{a}$.