Номер 2.100, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.100. Сравните значения выражений $\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{10}}$ и $\frac{1}{\sqrt{14}-\sqrt{11}}$.

Чтобы сравнить значения заданных выражений, преобразуем каждое из них, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Мы будем использовать формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем первое выражение:

Преобразуем второе выражение:

Теперь задача сводится к сравнению полученных дробей: $\frac{\sqrt{13} + \sqrt{10}}{3}$ и $\frac{\sqrt{14} + \sqrt{11}}{3}$.

Так как знаменатели этих дробей равны (и положительны), для их сравнения достаточно сравнить числители: $\sqrt{13} + \sqrt{10}$ и $\sqrt{14} + \sqrt{11}$.

Мы знаем, что функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $\sqrt{x}$.

Поскольку $14 > 13$, то $\sqrt{14} > \sqrt{13}$.

Аналогично, поскольку $11 > 10$, то $\sqrt{11} > \sqrt{10}$.

Сложив эти два верных неравенства, получим:

Так как числитель второго преобразованного выражения больше числителя первого, то и само второе выражение больше первого.

Следовательно, исходное второе выражение также больше первого.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{10}} < \frac{1}{\sqrt{14}-\sqrt{11}}$.