Номер 2.93, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.93. Упростите выражение:

а) $\sqrt[8]{m^8}$, если $m \geq 0$;

б) $\sqrt[4]{c^4}$, если $c < 0$;

в) $\sqrt[6]{64x^6}$, если $x \geq 0$;

г) $\sqrt[4]{\frac{a^4}{81}}$, если $a < 0$;

д) $-2\sqrt[4]{625y^4}$, если $y < 0$;

е) $-3b\sqrt[8]{\frac{b^8}{256}}$, если $b \geq 0$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{m^8}$ при условии $m \ge 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Поскольку показатель корня $8$ является четным числом, то $\sqrt[8]{m^8} = |m|$.
Согласно условию $m \ge 0$, модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|m| = m$.
Ответ: $m$

б) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{c^4}$ при условии $c < 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Показатель корня $4$ — четное число, поэтому $\sqrt[4]{c^4} = |c|$.
Согласно условию $c < 0$, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|c| = -c$.
Ответ: $-c$

в) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{64x^6}$ при условии $x \ge 0$ сначала преобразуем подкоренное выражение.
Так как $64 = 2^6$, то $64x^6 = 2^6x^6 = (2x)^6$.
Выражение принимает вид: $\sqrt[6]{(2x)^6}$.
Показатель корня $6$ — четное число, поэтому $\sqrt[6]{(2x)^6} = |2x| = 2|x|$.
По условию $x \ge 0$, значит $|x| = x$.
Следовательно, $2|x| = 2x$.
Ответ: $2x$

г) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\frac{a^4}{81}}$ при условии $a < 0$ преобразуем подкоренное выражение.
Так как $81 = 3^4$, то $\frac{a^4}{81} = \frac{a^4}{3^4} = (\frac{a}{3})^4$.
Выражение принимает вид: $\sqrt[4]{(\frac{a}{3})^4}$.
Показатель корня $4$ — четное число, поэтому $\sqrt[4]{(\frac{a}{3})^4} = |\frac{a}{3}| = \frac{|a|}{|3|} = \frac{|a|}{3}$.
По условию $a < 0$, значит $|a| = -a$.
Следовательно, $\frac{|a|}{3} = \frac{-a}{3}$.
Ответ: $-\frac{a}{3}$

д) Для упрощения выражения $-2\sqrt[4]{625y^4}$ при условии $y < 0$ сначала упростим корень.
Так как $625 = 5^4$, то $\sqrt[4]{625y^4} = \sqrt[4]{5^4y^4} = \sqrt[4]{(5y)^4}$.
Показатель корня $4$ — четное число, поэтому $\sqrt[4]{(5y)^4} = |5y| = 5|y|$.
Исходное выражение становится равным $-2 \cdot 5|y| = -10|y|$.
По условию $y < 0$, значит $|y| = -y$.
Следовательно, $-10|y| = -10(-y) = 10y$.
Ответ: $10y$

е) Для упрощения выражения $-3b\sqrt[8]{\frac{b^8}{256}}$ при условии $b \ge 0$ сначала упростим корень.
Так как $256 = 2^8$, то $\sqrt[8]{\frac{b^8}{256}} = \sqrt[8]{\frac{b^8}{2^8}} = \sqrt[8]{(\frac{b}{2})^8}$.
Показатель корня $8$ — четное число, поэтому $\sqrt[8]{(\frac{b}{2})^8} = |\frac{b}{2}| = \frac{|b|}{2}$.
Исходное выражение становится равным $-3b \cdot \frac{|b|}{2}$.
По условию $b \ge 0$, значит $|b| = b$.
Подставляем и получаем: $-3b \cdot \frac{b}{2} = -\frac{3b^2}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби в коэффициенте: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: $-1\frac{1}{2}b^2$