Номер 2.87, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.87. Представьте выражение в виде корня с меньшим показателем:

a) $\sqrt[12]{3^3}$;

б) $\sqrt[8]{5^6}$;

в) $\sqrt[4]{7^2}$;

г) $\sqrt[12]{3^6}$;

д) $\sqrt[6]{27}$;

е) $\sqrt[15]{32}$.

Для упрощения выражений и представления их в виде корня с меньшим показателем используется свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Это означает, что можно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель (НОД), не изменяя значения выражения.

a) В выражении $\sqrt[12]{3^3}$ показатель корня равен 12, а показатель степени подкоренного выражения — 3.
Найдем наибольший общий делитель для этих чисел: НОД(12, 3) = 3.
Разделим показатель корня и показатель степени на 3:
$\sqrt[12]{3^3} = \sqrt[12:3]{3^{3:3}} = \sqrt[4]{3^1} = \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{3}$.

б) В выражении $\sqrt[8]{5^6}$ показатель корня равен 8, а показатель степени — 6.
Найдем наибольший общий делитель: НОД(8, 6) = 2.
Разделим показатель корня и показатель степени на 2:
$\sqrt[8]{5^6} = \sqrt[8:2]{5^{6:2}} = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$.
Ответ: $\sqrt[4]{125}$.

в) В выражении $\sqrt[4]{7^2}$ показатель корня равен 4, а показатель степени — 2.
Найдем наибольший общий делитель: НОД(4, 2) = 2.
Разделим показатель корня и показатель степени на 2:
$\sqrt[4]{7^2} = \sqrt[4:2]{7^{2:2}} = \sqrt[2]{7^1} = \sqrt{7}$. (Показатель корня 2 принято не писать).
Ответ: $\sqrt{7}$.

г) В выражении $\sqrt[12]{3^6}$ показатель корня равен 12, а показатель степени — 6.
Найдем наибольший общий делитель: НОД(12, 6) = 6.
Разделим показатель корня и показатель степени на 6:
$\sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12:6]{3^{6:6}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

д) Сначала представим подкоренное выражение 27 в виде степени. Так как $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$, исходное выражение можно переписать как $\sqrt[6]{3^3}$.
Теперь показатель корня равен 6, а показатель степени — 3. НОД(6, 3) = 3.
Разделим показатели на 3:
$\sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6:3]{3^{3:3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

е) Представим подкоренное выражение 32 в виде степени. Так как $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$, исходное выражение можно переписать как $\sqrt[15]{2^5}$.
Показатель корня равен 15, а показатель степени — 5. НОД(15, 5) = 5.
Разделим показатели на 5:
$\sqrt[15]{2^5} = \sqrt[15:5]{2^{5:5}} = \sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$.