Номер 2.80, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.80. Найдите значения выражений $\sqrt[3]{mn}$ и $\sqrt[3]{\frac{m}{n}}$, если:

a) $m = 125$, $n = 0,027$;

б) $m = 10^6$, $n = 2^3$.

a) Для $m = 125$ и $n = 0,027$:

1. Найдем значение выражения $\sqrt[3]{mn}$:
$\sqrt[3]{mn} = \sqrt[3]{125 \cdot 0,027}$
Используем свойство корня из произведения $\sqrt[k]{a \cdot b} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}$:
$\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{0,3^3} = 5 \cdot 0,3 = 1,5$

2. Найдем значение выражения $\sqrt[3]{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[3]{\frac{m}{n}} = \sqrt[3]{\frac{125}{0,027}}$
Используем свойство корня из частного $\sqrt[k]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[k]{a}}{\sqrt[k]{b}}$:
$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{0,027}} = \frac{5}{0,3} = \frac{5}{\frac{3}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$

Ответ: $\sqrt[3]{mn} = 1,5$; $\sqrt[3]{\frac{m}{n}} = \mathbf{16}\frac{2}{3}$.

б) Для $m = 10^6$ и $n = 2^3$:

1. Найдем значение выражения $\sqrt[3]{mn}$:
$\sqrt[3]{mn} = \sqrt[3]{10^6 \cdot 2^3}$
Используем свойства корней $\sqrt[k]{a \cdot b} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}$ и $\sqrt[k]{a^l} = a^{\frac{l}{k}}$:
$\sqrt[3]{10^6} \cdot \sqrt[3]{2^3} = 10^{\frac{6}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{3}} = 10^2 \cdot 2^1 = 100 \cdot 2 = 200$

2. Найдем значение выражения $\sqrt[3]{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[3]{\frac{m}{n}} = \sqrt[3]{\frac{10^6}{2^3}}$
Используем свойства корней $\sqrt[k]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[k]{a}}{\sqrt[k]{b}}$ и $\sqrt[k]{a^l} = a^{\frac{l}{k}}$:
$\frac{\sqrt[3]{10^6}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{10^{\frac{6}{3}}}{2^{\frac{3}{3}}} = \frac{10^2}{2^1} = \frac{100}{2} = 50$

Ответ: $\sqrt[3]{mn} = 200$; $\sqrt[3]{\frac{m}{n}} = 50$.