Номер 2.76, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.76. Вычислите с помощью свойства корня n-й степени из произведения:

а) $\sqrt[3]{27 \cdot 125}$;

б) $\sqrt[4]{81 \cdot 256}$;

в) $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00001}$;

г) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$;

д) $\sqrt[5]{32 \cdot 6^{5}}$;

е) $\sqrt[3]{0,008 \cdot 27 \cdot 9^{6}}$.

Для решения данных примеров используется свойство корня n-й степени из произведения: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ и натурального числа $n \ge 2$ справедливо равенство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Это свойство также распространяется на произведение трех и более сомножителей.

а) $\sqrt[3]{27 \cdot 125}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{27 \cdot 125} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}$
Так как $3^3 = 27$ и $5^3 = 125$, получаем:
$3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15.

б) $\sqrt[4]{81 \cdot 256}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{81 \cdot 256} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{256}$
Так как $3^4 = 81$ и $4^4 = 256$, получаем:
$3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

в) $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00001}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{243 \cdot 0,00001} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{0,00001}$
Так как $3^5 = 243$ и $(0,1)^5 = 0,00001$, получаем:
$3 \cdot 0,1 = 0,3$.
Ответ: 0,3.

г) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{0,064 \cdot 343} = \sqrt[3]{0,064} \cdot \sqrt[3]{343}$
Так как $(0,4)^3 = 0,064$ и $7^3 = 343$, получаем:
$0,4 \cdot 7 = 2,8$.
Представим результат в виде смешанного числа. Для этого переведем десятичную дробь в неправильную: $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$.
Выделим целую часть: $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
Ответ: $2\frac{4}{5}$.

д) $\sqrt[5]{32 \cdot 6^5}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{32 \cdot 6^5} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{6^5}$
Так как $2^5 = 32$ и $\sqrt[5]{6^5} = 6$, получаем:
$2 \cdot 6 = 12$.
Ответ: 12.

е) $\sqrt[3]{0,008 \cdot 27 \cdot 9^6}$
Применяем свойство корня из произведения для трех множителей:
$\sqrt[3]{0,008 \cdot 27 \cdot 9^6} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{9^6}$
Вычисляем каждый корень отдельно:
$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$
$\sqrt[3]{27} = 3$
$\sqrt[3]{9^6} = 9^{6/3} = 9^2 = 81$
Перемножаем результаты:
$0,2 \cdot 3 \cdot 81 = 0,6 \cdot 81 = 48,6$.
Представим результат в виде смешанного числа: $48,6 = \frac{486}{10} = \frac{243}{5}$.
Выделим целую часть: $\frac{243}{5} = 48\frac{3}{5}$.
Ответ: $48\frac{3}{5}$.