Номер 2.75, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.75*. Вычислите:

a) $ \sqrt[4]{(\sqrt{120} - 11)^4} + \sqrt[4]{(\sqrt{120} + 11)^4}; $

б) $ \sqrt[6]{(4\sqrt{6} + 10)^6} - \sqrt[6]{(4\sqrt{6} - 10)^6} - 20. $

а) $ \sqrt[4]{(\sqrt{120} - 11)^4} + \sqrt[4]{(\sqrt{120} + 11)^4} $

Для решения воспользуемся свойством корня четной степени: $ \sqrt[2n]{a^{2n}} = |a| $. Поскольку степень корня (4) является четным числом, мы можем переписать выражение с использованием модуля:

$ |\sqrt{120} - 11| + |\sqrt{120} + 11| $

Теперь необходимо определить знаки выражений, стоящих под знаком модуля, чтобы раскрыть их.

1. Выражение $ \sqrt{120} + 11 $ является суммой двух положительных чисел, поэтому его значение положительно. Следовательно, $ |\sqrt{120} + 11| = \sqrt{120} + 11 $.
2. Для определения знака выражения $ \sqrt{120} - 11 $ сравним значения $ \sqrt{120} $ и $ 11 $. Сделать это удобнее, сравнив их квадраты:
   $ (\sqrt{120})^2 = 120 $
   $ 11^2 = 121 $
   Так как $ 120 < 121 $, то и $ \sqrt{120} < 11 $. Это означает, что разность $ \sqrt{120} - 11 $ отрицательна.
   По определению модуля, $ |\sqrt{120} - 11| = -(\sqrt{120} - 11) = 11 - \sqrt{120} $.

Подставим раскрытые модули обратно в выражение и выполним сложение:

$ (11 - \sqrt{120}) + (\sqrt{120} + 11) = 11 - \sqrt{120} + \sqrt{120} + 11 = 22 $

Ответ: 22.

б) $ \sqrt[6]{(4\sqrt{6} + 10)^6} - \sqrt[6]{(4\sqrt{6} - 10)^6} - 20 $

Здесь также степень корня (6) является четной, поэтому применяем то же свойство $ \sqrt[2n]{a^{2n}} = |a| $:

$ |4\sqrt{6} + 10| - |4\sqrt{6} - 10| - 20 $

Определим знаки выражений под модулями:

1. Выражение $ 4\sqrt{6} + 10 $ является суммой положительных чисел, значит, оно положительно.
   $ |4\sqrt{6} + 10| = 4\sqrt{6} + 10 $.
2. Для определения знака выражения $ 4\sqrt{6} - 10 $ сравним $ 4\sqrt{6} $ и $ 10 $, возведя их в квадрат:
   $ (4\sqrt{6})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96 $
   $ 10^2 = 100 $
   Поскольку $ 96 < 100 $, то $ 4\sqrt{6} < 10 $. Следовательно, разность $ 4\sqrt{6} - 10 $ отрицательна.
   По определению модуля, $ |4\sqrt{6} - 10| = -(4\sqrt{6} - 10) = 10 - 4\sqrt{6} $.

Подставим полученные значения в выражение:

$ (4\sqrt{6} + 10) - (10 - 4\sqrt{6}) - 20 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4\sqrt{6} + 10 - 10 + 4\sqrt{6} - 20 = (4\sqrt{6} + 4\sqrt{6}) + (10 - 10) - 20 = 8\sqrt{6} - 20 $

Ответ: $ 8\sqrt{6} - 20 $.