Номер 2.77, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.77. Найдите значение произведения:

а) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2};$

б) $\sqrt[3]{3,2} \cdot \sqrt[3]{20};$

в) $\sqrt[4]{6,25} \cdot \sqrt[4]{100};$

г) $\sqrt[5]{24,3} \cdot \sqrt[5]{10};$

д) $\sqrt[4]{0,5} \cdot \sqrt[4]{0,125};$

е) $\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{-9}.$

а) Для того чтобы найти значение произведения корней с одинаковым показателем, воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2.
$\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2.

б) Используем то же свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{3,2} \cdot \sqrt[3]{20} = \sqrt[3]{3,2 \cdot 20}$.
Вычислим произведение под корнем: $3,2 \cdot 20 = 64$.
Получаем: $\sqrt[3]{64}$.
Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то кубический корень из 64 равен 4.
$\sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4.

в) Применяем свойство произведения корней для корней четвертой степени: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{6,25} \cdot \sqrt[4]{100} = \sqrt[4]{6,25 \cdot 100}$.
Вычислим произведение под корнем: $6,25 \cdot 100 = 625$.
Получаем: $\sqrt[4]{625}$.
Так как $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$, то корень четвертой степени из 625 равен 5.
$\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5.

г) Используем свойство произведения корней пятой степени: $\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{24,3} \cdot \sqrt[5]{10} = \sqrt[5]{24,3 \cdot 10}$.
Вычислим произведение под корнем: $24,3 \cdot 10 = 243$.
Получаем: $\sqrt[5]{243}$.
Так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$, то корень пятой степени из 243 равен 3.
$\sqrt[5]{243} = 3$.
Ответ: 3.

д) Применяем свойство произведения корней четвертой степени. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных.
$0,5 = \frac{1}{2}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
$\sqrt[4]{0,5} \cdot \sqrt[4]{0,125} = \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Свойство произведения корней справедливо и для трех множителей: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a \cdot b \cdot c}$. Показатель корня нечетный (5), поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным.
$\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{-9} = \sqrt[5]{3 \cdot 9 \cdot (-9)}$.
Вычислим произведение под корнем: $3 \cdot 9 \cdot (-9) = 27 \cdot (-9) = -243$.
Получаем: $\sqrt[5]{-243}$.
Так как $(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$, то корень пятой степени из -243 равен -3.
$\sqrt[5]{-243} = -3$.
Ответ: -3.