Номер 2.83, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.83. Вычислите:

a) $7\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

б) $-2\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27};$

в) $8\sqrt[3]{10} \cdot (\sqrt[3]{-100});$

г) $0,4\sqrt[4]{5} \cdot 7\sqrt[4]{125}.$

а) Для вычисления произведения $7\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством умножения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$7\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = 7 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 4} = 7 \cdot \sqrt[3]{8}$
Так как $2^3 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2: $\sqrt[3]{8} = 2$.
$7 \cdot 2 = 14$
Ответ: 14

б) Для вычисления произведения $-2\sqrt[5]{9} \cdot 5\sqrt[5]{27}$ сначала перемножим коэффициенты перед корнями, а затем воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$-2\sqrt[5]{9} \cdot 5\sqrt[5]{27} = (-2 \cdot 5) \cdot (\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}) = -10 \cdot \sqrt[5]{9 \cdot 27}$
Чтобы упростить подкоренное выражение, представим числа 9 и 27 в виде степеней числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
$-10 \cdot \sqrt[5]{3^2 \cdot 3^3} = -10 \cdot \sqrt[5]{3^{2+3}} = -10 \cdot \sqrt[5]{3^5}$
Корень пятой степени из $3^5$ равен 3: $\sqrt[5]{3^5} = 3$.
$-10 \cdot 3 = -30$
Ответ: -30

в) Для вычисления произведения $8\sqrt[3]{10} \cdot (\sqrt[3]{-100})$ используем свойство умножения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$8\sqrt[3]{10} \cdot (\sqrt[3]{-100}) = 8 \cdot \sqrt[3]{10 \cdot (-100)} = 8 \cdot \sqrt[3]{-1000}$
Кубический корень из -1000 равен -10, так как $(-10)^3 = -1000$.
$8 \cdot (-10) = -80$
Ответ: -80

г) Для вычисления произведения $0,4\sqrt[4]{5} \cdot 7\sqrt[4]{125}$ сначала перемножим коэффициенты, а затем применим свойство умножения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$0,4\sqrt[4]{5} \cdot 7\sqrt[4]{125} = (0,4 \cdot 7) \cdot (\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}) = 2,8 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 125}$
Представим число 125 в виде степени числа 5: $125 = 5^3$.
$2,8 \cdot \sqrt[4]{5^1 \cdot 5^3} = 2,8 \cdot \sqrt[4]{5^{1+3}} = 2,8 \cdot \sqrt[4]{5^4}$
Корень четвертой степени из $5^4$ равен 5: $\sqrt[4]{5^4} = 5$.
$2,8 \cdot 5 = 14$
Ответ: 14