Номер 2.81, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.81. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{\frac{125 \cdot 343}{0,027}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{160000}{81 \cdot 625}}$.

a) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{\frac{125 \cdot 343}{0,027}}$, воспользуемся свойством корня из частного и произведения, которое позволяет извлекать корень из каждого множителя и делителя по отдельности: $\sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

Теперь вычислим значения каждого кубического корня:

• Число 125 — это куб числа 5, так как $5^3 = 125$. Следовательно, $\sqrt[3]{125} = 5$.
• Число 343 — это куб числа 7, так как $7^3 = 343$. Следовательно, $\sqrt[3]{343} = 7$.
• Десятичная дробь 0,027 — это куб числа 0,3, так как $(0,3)^3 = 0,027$. Следовательно, $\sqrt[3]{0,027} = 0,3$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

Мы получили неправильную дробь. Чтобы выделить целую часть, разделим 350 на 3 с остатком:

$350 \div 3 = 116$ (остаток $2$).

Таким образом, $\frac{350}{3} = 116\frac{2}{3}$.

Ответ: $116\frac{2}{3}$

б) Аналогично первому пункту, для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{\frac{160000}{81 \cdot 625}}$ воспользуемся свойством корня: $\sqrt[n]{\frac{a}{b \cdot c}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c}}$.

Применим это свойство:

Теперь вычислим значения каждого корня четвертой степени:

• $160000 = 16 \cdot 10000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{160000} = 20$.
• $81 = 3^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{81} = 3$.
• $625 = 5^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Подставим полученные значения в выражение:

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

Мы получили неправильную дробь. Выделим из неё целую часть, разделив 4 на 3 с остатком:

$4 \div 3 = 1$ (остаток $1$).

Таким образом, $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$