Номер 2.74, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.74. Упростите выражение:

а) $ \sqrt[4]{(a-7)^4} $ при $ a \ge 7 $;

б) $ \sqrt[6]{(a+8)^6} $ при $ a < -8 $;

в) $ \sqrt[8]{(y-3)^8} + \sqrt[4]{(y-5)^4} $ при $ 3 \le y \le 5 $.

Для решения данных задач используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ для любого натурального $n$. Это означает, что результат извлечения корня четной степени из выражения, возведенного в ту же степень, равен модулю этого выражения.

а) Упростим выражение $\sqrt[4]{(a-7)^4}$ при $a \geq 7$.

Применяем свойство корня четной степени ($n=4$):
$\sqrt[4]{(a-7)^4} = |a-7|$.
Далее необходимо раскрыть модуль, учитывая заданное условие $a \geq 7$.
Если $a \geq 7$, то разность $a-7$ будет неотрицательной, то есть $a-7 \geq 0$.
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $|a-7| = a-7$.
Ответ: $a-7$.

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{(a+8)^6}$ при $a < -8$.

Применяем свойство корня четной степени ($n=6$):
$\sqrt[6]{(a+8)^6} = |a+8|$.
Раскроем модуль, используя условие $a < -8$.
Если $a < -8$, то сумма $a+8$ будет отрицательной, то есть $a+8 < 0$.
По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно, то модуль равен противоположному выражению: $|a+8| = -(a+8) = -a-8$.
Ответ: $-a-8$.

в) Упростим выражение $\sqrt[8]{(y-3)^8} + \sqrt[4]{(y-5)^4}$ при $3 \leq y \leq 5$.

Это выражение состоит из двух слагаемых. Упростим каждое из них по отдельности.
1. Первое слагаемое: $\sqrt[8]{(y-3)^8}$.
Применяем свойство корня четной степени ($n=8$): $\sqrt[8]{(y-3)^8} = |y-3|$.
Из условия $3 \leq y \leq 5$ следует, что $y \geq 3$, значит разность $y-3$ неотрицательна ($y-3 \geq 0$).
Следовательно, $|y-3| = y-3$.

2. Второе слагаемое: $\sqrt[4]{(y-5)^4}$.
Применяем свойство корня четной степени ($n=4$): $\sqrt[4]{(y-5)^4} = |y-5|$.
Из условия $3 \leq y \leq 5$ следует, что $y \leq 5$, значит разность $y-5$ неположительна ($y-5 \leq 0$).
Следовательно, $|y-5| = -(y-5) = -y+5$.

3. Теперь сложим полученные упрощенные выражения:
$(y-3) + (-y+5) = y - 3 - y + 5 = 2$.
Ответ: $2$.