Номер 2.71, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.71. Упростите выражение $\sqrt[3]{343x^3} + \sqrt[4]{81x^4} - \sqrt{64x^2}$ и найдите его

значение при $x = -0,5$.

Упростите выражение $\sqrt[3]{343x^3} + \sqrt[4]{81x^4} - \sqrt{64x^2}$

Для упрощения выражения необходимо применить свойства корней n-ой степени для каждого из его членов.

1. Первый член: $\sqrt[3]{343x^3}$.
   Корень нечетной степени (в данном случае, 3) из выражения, возведенного в ту же степень, равен самому выражению: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$. Поскольку $343 = 7^3$, получаем:
   $\sqrt[3]{343x^3} = \sqrt[3]{7^3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{(7x)^3} = 7x$.
2. Второй член: $\sqrt[4]{81x^4}$.
   Корень четной степени (в данном случае, 4) из выражения, возведенного в ту же степень, равен модулю этого выражения: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. Поскольку $81 = 3^4$, получаем:
   $\sqrt[4]{81x^4} = \sqrt[4]{3^4 \cdot x^4} = \sqrt[4]{(3x)^4} = |3x|$.
3. Третий член: $-\sqrt{64x^2}$.
   Квадратный корень является корнем четной степени (2), поэтому применяется то же правило, что и для второго члена. Поскольку $64 = 8^2$, получаем:
   $\sqrt{64x^2} = \sqrt{8^2 \cdot x^2} = \sqrt{(8x)^2} = |8x|$.

Теперь объединим все упрощенные части в одно выражение: $7x + |3x| - |8x|$.

Ответ: $7x + |3x| - |8x|$.

и найдите его значение при $x = -0,5$

Подставим значение $x = -0,5$ в полученное на предыдущем шаге выражение $7x + |3x| - |8x|$:

$7 \cdot (-0,5) + |3 \cdot (-0,5)| - |8 \cdot (-0,5)|$

Выполним вычисления внутри скобок и модулей:
$7 \cdot (-0,5) + |-1,5| - |-4|$

Раскроем модули (модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу) и выполним оставшиеся действия:
$-3,5 + 1,5 - 4 = -2 - 4 = -6$

Ответ: -6.