Номер 2.66, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.66 Вычислите:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^7}$;

б) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}$;

в) $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}} + \frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt[3]{2}}.$

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами корней и степеней.

Исходное выражение: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^7}$

1. Упростим первый множитель, используя свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3 \cdot 3]{9} = \sqrt[9]{9}$

2. Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$\sqrt[9]{9} = \sqrt[9]{3^2}$

3. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[9]{3^2} \cdot \sqrt[9]{3^7}$

4. Используем свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[9]{3^2 \cdot 3^7}$

5. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[9]{3^{2+7}} = \sqrt[9]{3^9}$

6. Вычислим корень:

$\sqrt[9]{3^9} = 3$

Ответ: 3

б) Решим второе выражение, применяя те же свойства.

Исходное выражение: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}$

1. Упростим первый множитель, используя свойство вложенных корней:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} = \sqrt[4 \cdot 3]{25} = \sqrt[12]{25}$

2. Представим число 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

$\sqrt[12]{25} = \sqrt[12]{5^2}$

3. Сократим показатель корня и показатель степени на 2, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$\sqrt[12]{5^2} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5}$

4. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[6]{5^5}$

5. Используем свойство умножения корней с одинаковым показателем:

$\sqrt[6]{5 \cdot 5^5} = \sqrt[6]{5^1 \cdot 5^5}$

6. Применим свойство умножения степеней:

$\sqrt[6]{5^{1+5}} = \sqrt[6]{5^6}$

7. Вычислим корень:

$\sqrt[6]{5^6} = 5$

Ответ: 5

в) Для решения данного примера, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности. В выражении $\frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{\sqrt[3]{2}}}$ вероятно допущена опечатка, так как результат не является рациональным числом, что обычно предполагается в подобных задачах. Наиболее вероятная опечатка — в подкоренном выражении знаменателя второго слагаемого вместо 2 должно быть 8. Решим задачу с этим исправлением.

Исходное выражение (с исправлением): $\frac{\sqrt{\sqrt[3]{4}}}{\sqrt[3]{2}} + \frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{\sqrt[3]{8}}}$

1. Вычислим первое слагаемое: $\frac{\sqrt{\sqrt[3]{4}}}{\sqrt[3]{2}}$

a. Упростим числитель: $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3]{2}$.

b. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = 1$.

2. Вычислим второе слагаемое: $\frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{\sqrt[3]{8}}}$

a. Упростим знаменатель: $\sqrt{\sqrt[3]{8}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3}} = \sqrt{2}$.

b. Подставим упрощенный знаменатель в дробь: $\frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$.

c. Сократим дробь: $\frac{15}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \cdot 1 = 3$.

3. Сложим значения двух слагаемых:

$1 + 3 = 4$

Ответ: 4