Номер 2.60, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.60. Представьте в виде корней одной и той же степени числа:

а) $ \sqrt[3]{2}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{2}$, $\sqrt[8]{3}$ и $\sqrt[12]{7}$.

а) Чтобы представить числа $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt[6]{3}$ в виде корней одной и той же степени, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) степеней этих корней. Степени корней в данном случае равны 3, 2 (поскольку $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5}$) и 6.

Находим НОК для чисел 3, 2 и 6:
НОК(3, 2, 6) = 6.

Следовательно, общая степень корня будет 6. Теперь приведем каждый из исходных корней к этой степени, используя основное свойство корня $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$:

• Для корня $\sqrt[3]{2}$ показатель степени нужно домножить на $6/3=2$. Подкоренное выражение возводим в эту же степень:
  $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4}$.
• Для корня $\sqrt{5}$ показатель степени (равный 2) нужно домножить на $6/2=3$:
  $\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.
• Корень $\sqrt[6]{3}$ уже имеет нужную степень 6, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[6]{4}$, $\sqrt[6]{125}$ и $\sqrt[6]{3}$.

б) Для чисел $\sqrt[4]{2}$, $\sqrt[8]{3}$ и $\sqrt[12]{7}$ степени корней равны 4, 8 и 12. Найдем их наименьшее общее кратное.

Находим НОК для чисел 4, 8 и 12:
НОК(4, 8, 12) = 24.

Общая степень корня будет 24. Приведем каждый корень к этой степени:

• Для корня $\sqrt[4]{2}$ показатель степени домножаем на $24/4=6$:
  $\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[24]{64}$.
• Для корня $\sqrt[8]{3}$ показатель степени домножаем на $24/8=3$:
  $\sqrt[8]{3} = \sqrt[8 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[24]{27}$.
• Для корня $\sqrt[12]{7}$ показатель степени домножаем на $24/12=2$:
  $\sqrt[12]{7} = \sqrt[12 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[24]{49}$.

Ответ: $\sqrt[24]{64}$, $\sqrt[24]{27}$ и $\sqrt[24]{49}$.