Номер 2.56, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.56. Определите, являются ли взаимно обратными числа:

а) $\sqrt[3]{5}$ и $\frac{\sqrt[3]{25}}{5}$;

б) $2\sqrt[4]{2}$ и $\frac{1}{\sqrt[4]{32}}$;

в) $\sqrt[5]{64}$ и $-\frac{1}{\sqrt[5]{64}}$.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно обратными, найдем их произведение для каждого случая.

а) $\sqrt[3]{5}$ и $\frac{\sqrt[3]{25}}{5}$
Найдем произведение этих чисел. Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{5} = \frac{\sqrt[3]{5 \cdot 25}}{5} = \frac{\sqrt[3]{125}}{5}$
Так как $125 = 5^3$, то $\sqrt[3]{125} = 5$. Следовательно:
$\frac{5}{5} = 1$
Поскольку произведение чисел равно 1, они являются взаимно обратными. Ответ: Да, являются.

б) $2\sqrt[4]{2}$ и $\frac{1}{\sqrt[4]{32}}$
Найдем произведение этих чисел. Используем свойство корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$2\sqrt[4]{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{32}} = \frac{2\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{32}} = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{2}{32}} = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$
Так как $16 = 2^4$, то $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$. Следовательно:
$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
Поскольку произведение чисел равно 1, они являются взаимно обратными. Ответ: Да, являются.

в) $\sqrt[5]{64}$ и $-\frac{1}{\sqrt[5]{64}}$
Найдем произведение этих чисел:
$\sqrt[5]{64} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt[5]{64}}\right) = -\frac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{64}}$
Сократив дробь, получаем:
$-1$
Поскольку произведение чисел равно -1 (а не 1), они не являются взаимно обратными. Ответ: Нет, не являются.