Номер 2.52, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.52. Найдите значение частного:

a) $\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{250}};

б) $\frac{\sqrt[4]{486}}{\sqrt[4]{96}};

в) $\frac{\sqrt[3]{3125}}{\sqrt[3]{5400}};

г) $\frac{\sqrt[5]{6,4}}{\sqrt[5]{48,6}}.$

a) Для решения используем свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{16}{250}}$
Теперь сократим дробь под знаком корня, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{16}{250} = \frac{8}{125}$
Подставим сокращенную дробь обратно под корень и вычислим значение:
$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$
(поскольку $2^3=8$ и $5^3=125$).
Ответ: $\frac{2}{5}$.

б) Применим то же свойство частного корней:
$\frac{\sqrt[4]{486}}{\sqrt[4]{96}} = \sqrt[4]{\frac{486}{96}}$
Сократим подкоренное выражение. Последовательно разделим числитель и знаменатель на 2 и на 3:
$\frac{486}{96} = \frac{243}{48} = \frac{81}{16}$
Теперь извлечем корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$
(поскольку $3^4=81$ и $2^4=16$).
Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
Ответ: $\mathbf{1}\frac{1}{2}$.

в) Используем свойство корня из частного:
$\frac{\sqrt[3]{3125}}{\sqrt[3]{5400}} = \sqrt[3]{\frac{3125}{5400}}$
Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 125:
$3125 \div 125 = 25$
$5400 \div 125 = 43.2$ — неверно. Попробуем сокращать поэтапно на 5.
$\frac{3125}{5400} = \frac{3125 \div 5}{5400 \div 5} = \frac{625}{1080}$
$\frac{625}{1080} = \frac{625 \div 5}{1080 \div 5} = \frac{125}{216}$
Дробь больше не сокращается. Вычислим корень:
$\sqrt[3]{\frac{125}{216}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}} = \frac{5}{6}$
(поскольку $5^3=125$ и $6^3=216$).
Ответ: $\frac{5}{6}$.

г) Применим свойство частного корней к выражению с десятичными дробями:
$\frac{\sqrt[5]{6,4}}{\sqrt[5]{48,6}} = \sqrt[5]{\frac{6,4}{48,6}}$
Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:
$\sqrt[5]{\frac{6,4 \times 10}{48,6 \times 10}} = \sqrt[5]{\frac{64}{486}}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{64}{486} = \frac{32}{243}$
Теперь извлечем корень пятой степени:
$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{2}{3}$
(поскольку $2^5=32$ и $3^5=243$).
Ответ: $\frac{2}{3}$.