Номер 2.48, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.48. Сравните значения выражений $\sqrt[4]{ab}$ и $\sqrt[4]{\frac{a}{b}}$, если:

a) $a = 16, b = 625$;

б) $a = -256, b = -0,0081$;

в) $a = 7^4, b = 3^8$.

Можно ли найти значения данных выражений, если числа a и b разных знаков?

а) Подставим значения $a=16$ и $b=625$ в оба выражения.
1. Найдем значение первого выражения $\sqrt[4]{ab}$:
$\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{16 \cdot 625} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 5)^4} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.
2. Найдем значение второго выражения $\sqrt[4]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \sqrt[4]{\frac{2^4}{5^4}} = \sqrt[4]{(\frac{2}{5})^4} = \frac{2}{5}$.
3. Сравним полученные значения: $10$ и $\frac{2}{5}$.
Так как $10 > \frac{2}{5}$, то $\sqrt[4]{ab} > \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{ab} > \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.

б) Подставим значения $a=-256$ и $b=-0,0081$. Так как оба числа отрицательные, их произведение и частное будут положительными, и корни можно извлечь.
1. Найдем значение первого выражения $\sqrt[4]{ab}$:
$\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-256) \cdot (-0,0081)} = \sqrt[4]{256 \cdot 0,0081} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (0,3)^4} = \sqrt[4]{(4 \cdot 0,3)^4} = \sqrt[4]{1,2^4} = 1,2$.
2. Найдем значение второго выражения $\sqrt[4]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \sqrt[4]{\frac{-256}{-0,0081}} = \sqrt[4]{\frac{256}{0,0081}} = \sqrt[4]{\frac{4^4}{(0,3)^4}} = \sqrt[4]{(\frac{4}{0,3})^4} = \frac{4}{0,3} = \frac{40}{3}$.
Выражение $\frac{40}{3}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$.
3. Сравним полученные значения: $1,2$ и $13\frac{1}{3}$.
Так как $1,2 = 1\frac{1}{5}$, а $1\frac{1}{5} < 13\frac{1}{3}$, то $\sqrt[4]{ab} < \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{ab} < \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.

в) Подставим значения $a=7^4$ и $b=3^8$.
1. Найдем значение первого выражения $\sqrt[4]{ab}$:
$\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{7^4 \cdot 3^8} = \sqrt[4]{7^4 \cdot (3^2)^4} = \sqrt[4]{7^4 \cdot 9^4} = \sqrt[4]{(7 \cdot 9)^4} = \sqrt[4]{63^4} = 63$.
2. Найдем значение второго выражения $\sqrt[4]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \sqrt[4]{\frac{7^4}{3^8}} = \sqrt[4]{\frac{7^4}{(3^2)^4}} = \sqrt[4]{\frac{7^4}{9^4}} = \sqrt[4]{(\frac{7}{9})^4} = \frac{7}{9}$.
3. Сравним полученные значения: $63$ и $\frac{7}{9}$.
Так как $63 > \frac{7}{9}$, то $\sqrt[4]{ab} > \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{ab} > \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$.

Можно ли найти значения данных выражений, если числа a и b разных знаков?
Ответ: Нет, нельзя. Выражения $\sqrt[4]{ab}$ и $\sqrt[4]{\frac{a}{b}}$ содержат корень четной степени (четвертой). Арифметический корень четной степени в области действительных чисел определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Если числа $a$ и $b$ имеют разные знаки (одно положительное, а другое отрицательное), то их произведение $ab$ и их частное $\frac{a}{b}$ будут отрицательными числами. Извлечение корня четвертой степени из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно.