Номер 2.43, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.43. При каких значениях $t$ верно равенство:

a) $\sqrt{t^2} = t;$

б) $\sqrt{(t-1)^2} = 1-t?$

Для решения данной задачи необходимо использовать основное свойство арифметического квадратного корня, связанное с квадратом переменной: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это равенство означает, что квадратный корень из квадрата любого выражения равен модулю (абсолютной величине) этого выражения.

Напомним определение модуля:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|x| = -x$, если $x < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному числу).

а) При каких значениях $t$ верно равенство $\sqrt{t^2} = t$?

1. Преобразуем левую часть равенства, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. В нашем случае $a=t$.
$\sqrt{t^2} = |t|$

2. Теперь исходное равенство принимает вид:
$|t| = t$

3. Согласно определению модуля, это равенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля является неотрицательным.
$t \ge 0$

Ответ: Равенство верно при $t \ge 0$, то есть для всех $t$ из промежутка $[0, +\infty)$.

б) При каких значениях $t$ верно равенство $\sqrt{(t-1)^2} = 1-t$?

1. Снова преобразуем левую часть, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = t-1$.
$\sqrt{(t-1)^2} = |t-1|$

2. Исходное равенство принимает вид:
$|t-1| = 1-t$

3. Заметим, что правая часть равенства, $1-t$, является противоположным выражением для $t-1$, так как $1-t = -(t-1)$.
Таким образом, мы получили равенство вида $|a| = -a$, где $a = t-1$.

4. Согласно определению модуля, такое равенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля является неположительным (то есть отрицательным или равным нулю).
$t-1 \le 0$

5. Решим полученное неравенство относительно $t$:
$t \le 1$

Ответ: Равенство верно при $t \le 1$, то есть для всех $t$ из промежутка $(-\infty, 1]$.