Номер 2.42, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.42. Вычислите:

а) $\sqrt{(-4)^2}$;

б) $\sqrt{173^2 - 52^2}$.

а) Вычислим значение выражения $\sqrt{(-4)^2}$.
Существует два способа решения.

Способ 1: Сначала выполним действие в скобках (возведение в степень), а затем извлечем квадратный корень.
$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$.
Теперь извлечем корень из полученного числа:
$\sqrt{16} = 4$.

Способ 2: Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).
Применив это свойство, получаем:
$\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 4.

б) Вычислим значение выражения $\sqrt{173^2 - 52^2}$.
Выражение под корнем представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае $a = 173$ и $b = 52$.
Подставим значения в формулу:
$173^2 - 52^2 = (173 - 52)(173 + 52)$.
Вычислим значения в каждой скобке:
$173 - 52 = 121$.
$173 + 52 = 225$.
Теперь наше исходное выражение можно переписать в виде:
$\sqrt{(173 - 52)(173 + 52)} = \sqrt{121 \cdot 225}$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$:
$\sqrt{121 \cdot 225} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{225}$.
Вычислим значения корней:
$\sqrt{121} = 11$.
$\sqrt{225} = 15$.
Осталось перемножить полученные результаты:
$11 \cdot 15 = 165$.
Ответ: 165.