Номер 2.44, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.44. Вычислите с помощью свойства корня n-й степени из произведения:

а) $ \sqrt[3]{8 \cdot 27}$;

б) $ \sqrt[3]{64 \cdot 125}$;

в) $ \sqrt[4]{0,0625 \cdot 81}$;

г) $ \sqrt[5]{32 \cdot 0,00243}$;

д) $ \sqrt[3]{0,027 \cdot 15^3}$;

е) $ \sqrt[4]{625 \cdot 3^8}$;

ж) $ \sqrt[3]{0,001 \cdot 64 \cdot 343}$;

з) $ \sqrt[4]{0,0016 \cdot 625 \cdot 7^4}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$ воспользуемся свойством корня n-й степени из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).
$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$
Вычислим каждый корень отдельно:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Теперь перемножим полученные значения:
$2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б)Применим свойство корня из произведения к выражению $\sqrt[3]{64 \cdot 125}$:
$\sqrt[3]{64 \cdot 125} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{125}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
Результат их произведения:
$4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20

в)Для выражения $\sqrt[4]{0,0625 \cdot 81}$ используем то же свойство:
$\sqrt[4]{0,0625 \cdot 81} = \sqrt[4]{0,0625} \cdot \sqrt[4]{81}$
Вычислим корни:
$\sqrt[4]{0,0625} = 0,5$, так как $0,5^4 = (\frac{5}{10})^4 = \frac{625}{10000} = 0,0625$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Перемножим результаты:
$0,5 \cdot 3 = 1,5$.
Представим десятичную дробь в виде смешанного числа: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

г)Вычислим $\sqrt[5]{32 \cdot 0,00243}$:
$\sqrt[5]{32 \cdot 0,00243} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{0,00243}$
Находим значения корней:
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
$\sqrt[5]{0,00243} = 0,3$, так как $0,3^5 = (\frac{3}{10})^5 = \frac{243}{100000} = 0,00243$.
Найдем произведение:
$2 \cdot 0,3 = 0,6$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

д)Вычислим $\sqrt[3]{0,027 \cdot 15^3}$:
$\sqrt[3]{0,027 \cdot 15^3} = \sqrt[3]{0,027} \cdot \sqrt[3]{15^3}$
Вычисляем корни по отдельности:
$\sqrt[3]{0,027} = 0,3$, так как $0,3^3 = 0,027$.
$\sqrt[3]{15^3} = 15$.
Перемножим полученные числа:
$0,3 \cdot 15 = 4,5$.
Преобразуем в смешанное число: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Ответ: $4\frac{1}{2}$

е)Вычислим $\sqrt[4]{625 \cdot 3^8}$:
$\sqrt[4]{625 \cdot 3^8} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{3^8}$
Находим значения корней:
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{3^8} = 3^{\frac{8}{4}} = 3^2 = 9$.
Найдем произведение:
$5 \cdot 9 = 45$.
Ответ: 45

ж)Вычислим $\sqrt[3]{0,001 \cdot 64 \cdot 343}$. Свойство корня из произведения работает для любого числа сомножителей:
$\sqrt[3]{0,001 \cdot 64 \cdot 343} = \sqrt[3]{0,001} \cdot \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{343}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $0,1^3 = 0,001$.
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.
Перемножим результаты:
$0,1 \cdot 4 \cdot 7 = 0,4 \cdot 7 = 2,8$.
Представим результат в виде смешанного числа: $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
Ответ: $2\frac{4}{5}$

з)Вычислим $\sqrt[4]{0,0016 \cdot 625 \cdot 7^4}$:
$\sqrt[4]{0,0016 \cdot 625 \cdot 7^4} = \sqrt[4]{0,0016} \cdot \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{7^4}$
Находим значения корней:
$\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$, так как $0,2^4 = (\frac{2}{10})^4 = \frac{16}{10000} = 0,0016$.
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{7^4} = 7$.
Найдем произведение:
$0,2 \cdot 5 \cdot 7 = 1 \cdot 7 = 7$.
Ответ: 7