Номер 2.49, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.49. Вычислите:

a) $\\sqrt[3]{27 \\cdot 125} - \\sqrt[4]{16 \\cdot 81}$;

б) $\\sqrt[3]{-\\frac{8}{343}} + \\sqrt[4]{\\frac{0.0625}{256}}$.

а) $\sqrt[3]{27 \cdot 125} - \sqrt[4]{16 \cdot 81}$

Для решения воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Разобьем каждый член выражения на отдельные корни:

$\sqrt[3]{27 \cdot 125} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}$

$\sqrt[4]{16 \cdot 81} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81}$

Теперь вычислим значения каждого корня:

• $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
• $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
• $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
• $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}) - (\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81}) = (3 \cdot 5) - (2 \cdot 3) = 15 - 6 = 9$.

Ответ: 9.

б) $\sqrt[3]{-\frac{8}{343}} + \sqrt[4]{\frac{0,0625}{256}}$

Для решения воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[3]{-\frac{8}{343}} + \sqrt[4]{\frac{0,0625}{256}} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{343}} + \frac{\sqrt[4]{0,0625}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим значения каждого корня:

• $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$.
• $\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.
• $\sqrt[4]{0,0625} = 0,5$. Это можно проверить: $0,5^4 = 0,0625$. Также можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$, тогда $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$.
• $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Подставим вычисленные значения в выражение:

$\frac{-2}{7} + \frac{0,5}{4} = -\frac{2}{7} + \frac{1/2}{4} = -\frac{2}{7} + \frac{1}{8}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $7 \cdot 8 = 56$:

$-\frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 7} = -\frac{16}{56} + \frac{7}{56} = \frac{-16+7}{56} = -\frac{9}{56}$.

Ответ: $-\frac{9}{56}$.