вопрос 2, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. При каких значениях m верно равенство $\sqrt[8]{m^8} = -m$?

Для решения данного уравнения необходимо проанализировать свойства корня четной степени.

Исходное равенство: $\sqrt[8]{m^8} = -m$.

По определению арифметического корня четной степени, для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ верно тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В нашем случае показатель корня и показатель степени под корнем равны 8, что является четным числом. Следовательно, левую часть уравнения можно преобразовать:

$\sqrt[8]{m^8} = |m|$.

Таким образом, исходное равенство равносильно уравнению:

$|m| = -m$.

Для нахождения значений $m$, удовлетворяющих этому уравнению, рассмотрим два случая на основе определения модуля:

1. Если $m \ge 0$ (m — неотрицательное число), то $|m| = m$. Подставив это в уравнение, получаем:
   $m = -m$
   $2m = 0$
   $m = 0$
   Это значение удовлетворяет условию $m \ge 0$, следовательно, $m=0$ является решением.
2. Если $m < 0$ (m — отрицательное число), то по определению $|m| = -m$. Подставив это в уравнение, получаем:
   $-m = -m$
   Это верное тождество, которое выполняется для всех значений $m$, удовлетворяющих условию $m < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы заключаем, что исходное равенство верно для $m=0$ и для всех отрицательных чисел $m$.

Значения m, при которых верно равенство: Равенство выполняется для всех неположительных чисел, то есть для $m \le 0$. Ответ: $m \in (-\infty, 0]$.