Номер 2.39, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.39. Найдите значение выражения $\sin \frac{3\pi}{2} - 4\cos(-5\pi) + \sin(-8\pi)$.

Для того чтобы найти значение выражения $ \sin\frac{3\pi}{2} - 4\cos(-5\pi) + \sin(-8\pi) $, вычислим значение каждого из его компонентов по очереди.

1. Вычисление $ \sin\frac{3\pi}{2} $

На единичной тригонометрической окружности угол $ \frac{3\pi}{2} $ радиан (что соответствует 270°) указывает на точку с координатами (0, -1). Значение синуса угла равно ординате (координате y) этой точки. Таким образом, получаем:

$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $

2. Вычисление $ -4\cos(-5\pi) $

Сначала найдем значение $ \cos(-5\pi) $. Воспользуемся следующими свойствами косинуса:

• Функция косинус является четной, что означает $ \cos(-x) = \cos(x) $. Следовательно, $ \cos(-5\pi) = \cos(5\pi) $.
• Функция косинус периодична с периодом $ 2\pi $, что означает $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для любого целого $ k $. Мы можем отбросить полные обороты: $ 5\pi = \pi + 4\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi $.

Применяя эти свойства, получаем:

$ \cos(5\pi) = \cos(\pi + 2 \cdot 2\pi) = \cos(\pi) $

Угол $ \pi $ радиан (180°) на единичной окружности соответствует точке с координатами (-1, 0). Значение косинуса равно абсциссе (координате x) этой точки. Значит, $ \cos(\pi) = -1 $.

Теперь умножим результат на -4:

$ -4\cos(-5\pi) = -4 \cdot (-1) = 4 $

3. Вычисление $ \sin(-8\pi) $

Воспользуемся свойствами синуса:

• Функция синус является нечетной, что означает $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Следовательно, $ \sin(-8\pi) = -\sin(8\pi) $.
• Функция синус периодична с периодом $ 2\pi $. $ 8\pi $ - это целое число полных оборотов ($ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $).

Применяя эти свойства, получаем:

$ \sin(8\pi) = \sin(0 + 4 \cdot 2\pi) = \sin(0) $

Значение $ \sin(0) $ равно 0. Следовательно:

$ \sin(-8\pi) = -\sin(8\pi) = -\sin(0) = 0 $

4. Итоговый расчет

Теперь мы можем подставить найденные значения в исходное выражение:

$ \sin\frac{3\pi}{2} - 4\cos(-5\pi) + \sin(-8\pi) = (-1) + 4 + 0 $

$ -1 + 4 + 0 = 3 $

Ответ: 3