Номер 2.40, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.40. Решите неравенство $4 - x > \frac{1}{x-1}$.

Для решения данного неравенства $4 - x > \frac{1}{x-1}$ перенесем все его члены в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем.

$$ 4 - x - \frac{1}{x-1} > 0 $$

Теперь приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю $(x-1)$:

$$ \frac{(4-x)(x-1) - 1}{x-1} > 0 $$

Раскроем скобки в числителе и выполним упрощение:

$$ \frac{4x - 4 - x^2 + x - 1}{x-1} > 0 $$

$$ \frac{-x^2 + 5x - 5}{x-1} > 0 $$

Чтобы упростить анализ знаков, умножим обе части неравенства на -1. При этом необходимо изменить знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{x^2 - 5x + 5}{x-1} < 0 $$

Далее воспользуемся методом интервалов. Для этого определим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

1. Корень знаменателя:

   $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$

   В этой точке функция не определена, поэтому на числовой оси она будет "выколотой".

2. Корни числителя:

   Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

   $$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 $$

   Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

   $$ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{5}}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} $$

   $$ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{5}}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} $$

Теперь нанесем найденные точки на числовую ось. Все точки ($1$, $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$) будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Чтобы правильно расположить точки, оценим их значения: $\sqrt{5} \approx 2.236$.

• $x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$
• $x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$

Таким образом, точки на числовой оси располагаются в следующем порядке: $1 < \frac{5 - \sqrt{5}}{2} < \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 5}{x-1}$ в каждом из них. Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки будут чередоваться.

Возьмем пробную точку $x=0$ из интервала $(-\infty, 1)$:

$$ f(0) = \frac{0^2 - 5(0) + 5}{0-1} = \frac{5}{-1} = -5 < 0 $$

Расставим знаки на интервалах:

• $(-\infty, 1)$: $(-)$
• $(1, \frac{5 - \sqrt{5}}{2})$: $(+)$
• $(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$: $(-)$
• $(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$: $(+)$

Мы ищем решение неравенства $\frac{x^2 - 5x + 5}{x-1} < 0$, то есть интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$. Объединение этих интервалов является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\right)$