Номер 2.47, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.47. Найдите значение частного:

а) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}};$

б) $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{54}};$

в) $\frac{\sqrt[3]{400}}{\sqrt[3]{50}};$

г) $\frac{\sqrt[4]{4,8}}{\sqrt[4]{0,3}};$

д) $\sqrt[3]{\frac{5}{36}} : \sqrt[3]{\frac{6}{25}};$

е) $\sqrt[3]{7\frac{1}{5}} : \sqrt[3]{-\frac{1}{30}}.$

а) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$

Для нахождения значения частного используем свойство корней: частное корней одной и той же степени равно корню той же степени из частного подкоренных выражений. Это свойство можно записать в виде формулы: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применяем это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{96}{3}} = \sqrt[5]{32}$

Теперь необходимо извлечь корень пятой степени из 32. Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2

б) $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{54}}$

Используем то же свойство частного корней, что и в предыдущем пункте: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{2}{54}}$

Сократим дробь под корнем: $\frac{2}{54} = \frac{1}{27}$.

Получаем: $\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}$

Поскольку $1^3 = 1$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Таким образом, значение выражения равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) $\frac{\sqrt[3]{400}}{\sqrt[3]{50}}$

Применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[3]{400}}{\sqrt[3]{50}} = \sqrt[3]{\frac{400}{50}} = \sqrt[3]{8}$

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

г) $\frac{\sqrt[4]{4,8}}{\sqrt[4]{0,3}}$

Используем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[4]{4,8}}{\sqrt[4]{0,3}} = \sqrt[4]{\frac{4,8}{0,3}}$

Чтобы разделить десятичные дроби, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятой: $\frac{4,8}{0,3} = \frac{48}{3} = 16$.

Получаем: $\sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

д) $\sqrt[3]{\frac{5}{36}} : \sqrt[3]{\frac{6}{25}}$

Для деления корней одинаковой степени используем свойство $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}$.

$\sqrt[3]{\frac{5}{36} : \frac{6}{25}} = \sqrt[3]{\frac{5}{36} \cdot \frac{25}{6}}$

Перемножаем дроби под корнем:

$\frac{5}{36} \cdot \frac{25}{6} = \frac{5 \cdot 25}{36 \cdot 6} = \frac{125}{216}$

Получаем: $\sqrt[3]{\frac{125}{216}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}}$

Поскольку $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{125} = 5$ и $\sqrt[3]{216} = 6$.

Таким образом, значение выражения равно $\frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

е) $\sqrt[3]{7\frac{1}{5}} : \sqrt[3]{-\frac{1}{30}}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[3]{\frac{36}{5}} : \sqrt[3]{-\frac{1}{30}}$

Используем свойство частного корней: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}$.

$\sqrt[3]{\frac{36}{5} : \left(-\frac{1}{30}\right)} = \sqrt[3]{-\left(\frac{36}{5} \cdot 30\right)}$

Выполняем умножение под корнем:

$-\left(\frac{36}{5} \cdot 30\right) = -\left(36 \cdot \frac{30}{5}\right) = -(36 \cdot 6) = -216$

Получаем: $\sqrt[3]{-216}$

Так как $(-6)^3 = -216$, то $\sqrt[3]{-216} = -6$.

Ответ: -6