Номер 2.51, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.51. Найдите значение произведения:

а) $ \sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[3]{18}; $

б) $ \sqrt[4]{72} \cdot \sqrt[4]{18}; $

в) $ \sqrt[3]{75} \cdot \sqrt[3]{45}; $

г) $ \sqrt[5]{160} \cdot \sqrt[5]{625}; $

д) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-6} \cdot \sqrt[3]{9}; $

е) $ \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{12}. $

а) Для того чтобы найти значение произведения, воспользуемся свойством корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{12 \cdot 18}$
Выполним умножение под корнем, предварительно разложив числа на множители для удобства: $12 = 2^2 \cdot 3$ $18 = 2 \cdot 3^2$
$12 \cdot 18 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^{2+1} \cdot 3^{1+2} = 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3$
Таким образом, получаем: $\sqrt[3]{6^3} = 6$
Или можно было вычислить произведение напрямую: $12 \cdot 18 = 216$. Тогда $\sqrt[3]{216} = 6$, так как $6^3 = 216$.
Ответ: 6.

б) Используем то же свойство корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{72} \cdot \sqrt[4]{18} = \sqrt[4]{72 \cdot 18}$
Разложим подкоренные выражения на простые множители, чтобы найти полные четвертые степени: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
Перемножим их: $72 \cdot 18 = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^{3+1} \cdot 3^{2+2} = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$
Подставим результат под корень: $\sqrt[4]{6^4} = 6$
Ответ: 6.

в) Применим свойство произведения корней:
$\sqrt[3]{75} \cdot \sqrt[3]{45} = \sqrt[3]{75 \cdot 45}$
Разложим числа на множители: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$ $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Перемножим разложения: $75 \cdot 45 = (3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5) = 3^{1+2} \cdot 5^{2+1} = 3^3 \cdot 5^3 = (3 \cdot 5)^3 = 15^3$
Подставим под корень: $\sqrt[3]{15^3} = 15$
Ответ: 15.

г) Используем свойство произведения корней:
$\sqrt[5]{160} \cdot \sqrt[5]{625} = \sqrt[5]{160 \cdot 625}$
Разложим числа на множители: $160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5$ $625 = 5^4$
Перемножим разложения: $160 \cdot 625 = (2^5 \cdot 5) \cdot 5^4 = 2^5 \cdot 5^{1+4} = 2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5$
Подставим под корень: $\sqrt[5]{10^5} = 10$
Ответ: 10.

д) Применим свойство произведения корней для трех множителей:
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-6} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{4 \cdot (-6) \cdot 9}$
Поскольку корень нечетной степени, можно вынести знак минус из-под корня: $\sqrt[3]{-(4 \cdot 6 \cdot 9)} = -\sqrt[3]{4 \cdot 6 \cdot 9}$
Разложим числа под корнем на множители: $4 \cdot 6 \cdot 9 = (2^2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (3^2) = 2^{2+1} \cdot 3^{1+2} = 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3$
Подставим результат под корень: $-\sqrt[3]{6^3} = -6$
Ответ: -6.

е) Используем свойство произведения корней для трех множителей:
$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{12} = \sqrt[4]{4 \cdot 27 \cdot 12}$
Разложим числа под корнем на множители: $4 = 2^2$ $27 = 3^3$ $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Перемножим их: $4 \cdot 27 \cdot 12 = (2^2) \cdot (3^3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^{2+2} \cdot 3^{3+1} = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$
Подставим результат под корень: $\sqrt[4]{6^4} = 6$
Ответ: 6.