Номер 2.62, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.62. Вычислите:

а) $\sqrt[6]{49^3}$;

б) $\sqrt[6]{125^2}$;

в) $\sqrt[100]{9^{50}}$;

г) $\sqrt[24]{7^{48}}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt[6]{49^3}$ можно использовать свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ или упростить выражение, представив основание степени в виде степени простого числа.
Способ 1: Использование рациональных показателей.
$\sqrt[6]{49^3} = 49^{\frac{3}{6}} = 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.
Способ 2: Упрощение подкоренного выражения.
Представим $49$ как $7^2$: $\sqrt[6]{49^3} = \sqrt[6]{(7^2)^3}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $\sqrt[6]{7^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{7^6}$.
По определению корня n-ой степени $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$): $\sqrt[6]{7^6} = 7$.
Ответ: 7

б) Для вычисления $\sqrt[6]{125^2}$ представим число $125$ в виде степени числа $5$: $125 = 5^3$.
Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[6]{(5^3)^2}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $\sqrt[6]{5^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5^6}$.
Следовательно, результат равен $5$.
В качестве альтернативы можно использовать рациональные показатели: $\sqrt[6]{125^2} = 125^{\frac{2}{6}} = 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

в) Для вычисления $\sqrt[100]{9^{50}}$ можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 50.
$\sqrt[100]{9^{50}} = \sqrt[100 \div 50]{9^{50 \div 50}} = \sqrt[2]{9^1} = \sqrt{9} = 3$.
Другой способ — это переход к рациональным показателям: $\sqrt[100]{9^{50}} = 9^{\frac{50}{100}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

г) Для вычисления $\sqrt[24]{7^{48}}$ воспользуемся переходом к степени с рациональным показателем.
$\sqrt[24]{7^{48}} = 7^{\frac{48}{24}} = 7^2$.
Вычисляем значение полученной степени: $7^2 = 49$.
Также можно сократить показатель корня и показатель степени на 24: $\sqrt[24]{7^{48}} = \sqrt[24 \div 24]{7^{48 \div 24}} = \sqrt[1]{7^2} = 7^2 = 49$.
Ответ: 49