Номер 2.65, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.65. Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}}$;

б) $\sqrt[4]{\sqrt{a}}$;

в) $\sqrt[5]{a^2}$;

г) $\sqrt[5]{\sqrt[6]{a^{10}}}$;

д) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a}}$;

е) $\sqrt[4]{\sqrt{a}} \cdot \sqrt[6]{\sqrt[4]{a}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ воспользуемся свойством вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. Внешний корень является квадратным, поэтому его показатель $m=2$.
$\sqrt{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a} = \sqrt[6]{a}$.
Также можно использовать представление корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}$.
$\sqrt{\sqrt[3]{a}} = (a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{\sqrt{a}}$. Внутренний корень является квадратным с показателем $n=2$.
Применяя свойство вложенных корней:
$\sqrt[4]{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[4 \cdot 2]{a} = \sqrt[8]{a}$.
Через степени:
$\sqrt[4]{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{a}$.
Ответ: $\sqrt[8]{a}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{\sqrt[5]{a^2}}$. Внешний корень — квадратный ($m=2$).
$\sqrt{\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[2]{\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^2} = \sqrt[10]{a^2}$.
Показатель корня (10) и показатель степени подкоренного выражения (2) имеют общий делитель 2. Сократим их:
$\sqrt[10]{a^2} = \sqrt[10/2]{a^{2/2}} = \sqrt[5]{a^1} = \sqrt[5]{a}$.
Через степени:
$\sqrt{\sqrt[5]{a^2}} = ((a^2)^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{10}} = a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a}$.
Ответ: $\sqrt[5]{a}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[6]{a^{10}}}$.
Используем свойство вложенных корней:
$\sqrt[5]{\sqrt[6]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 6]{a^{10}} = \sqrt[30]{a^{10}}$.
Сократим показатель корня (30) и показатель степени (10) на их общий делитель 10:
$\sqrt[30]{a^{10}} = \sqrt[30/10]{a^{10/10}} = \sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3]{a}$.
Через степени:
$\sqrt[5]{\sqrt[6]{a^{10}}} = ((a^{10})^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{5}} = (a^{\frac{10}{6}})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{6} \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{30}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

д) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a}}$.
Сначала упростим произведение под внешним корнем, используя степени:
$\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{3}{4}}$.
Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:
$\sqrt[3]{a^{\frac{3}{4}}} = (a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{12}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

е) Упростим выражение $\sqrt[4]{\sqrt{a}} \cdot \sqrt[6]{\sqrt[4]{a}}$.
Упростим каждый множитель по отдельности:
Первый множитель: $\sqrt[4]{\sqrt{a}} = \sqrt[4 \cdot 2]{a} = \sqrt[8]{a}$.
Второй множитель: $\sqrt[6]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[6 \cdot 4]{a} = \sqrt[24]{a}$.
Теперь перемножим упрощенные множители, представив их в виде степеней:
$\sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[24]{a} = a^{\frac{1}{8}} \cdot a^{\frac{1}{24}} = a^{\frac{1}{8} + \frac{1}{24}}$.
Приведем дроби в показателе степени к общему знаменателю:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Таким образом, выражение равно $a^{\frac{1}{6}}$, что соответствует $\sqrt[6]{a}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a}$.