Номер 2.69, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.69. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $ \sqrt[7]{a^7} $;

б) $ -4\sqrt[3]{8a^3} $;

в) $ 12a\sqrt[9]{-a^9} $;

г) $ 5a^2\sqrt[5]{-32a^5} $.

а) Для извлечения корня нечетной степени из выражения, возведенного в ту же степень, используется свойство $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для нечетного $n$). В данном случае показатель корня $n=7$ является нечетным числом.
$\sqrt[7]{a^7} = a$.
Ответ: $a$.

б) Сначала упростим выражение под корнем. Число 8 можно представить как $2^3$. Таким образом, подкоренное выражение $8a^3$ равно $(2a)^3$.
$-4\sqrt[3]{8a^3} = -4\sqrt[3]{(2a)^3}$.
Так как показатель корня $n=3$ является нечетным числом, то $\sqrt[3]{(2a)^3} = 2a$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент перед корнем:
$-4 \cdot (2a) = -8a$.
Ответ: $-8a$.

в) Показатель корня $n=9$ является нечетным числом. Для нечетных показателей справедливо равенство $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$. Таким образом, $\sqrt[9]{-a^9} = -\sqrt[9]{a^9}$.
Извлекая корень, получаем: $-\sqrt[9]{a^9} = -a$.
Альтернативно, можно записать $-a^9$ как $(-a)^9$, поскольку степень нечетная. Тогда $\sqrt[9]{-a^9} = \sqrt[9]{(-a)^9} = -a$.
Подставим это в исходное выражение:
$12a \cdot (-a) = -12a^2$.
Ответ: $-12a^2$.

г) Упростим выражение под корнем. Число -32 можно представить как $(-2)^5$.
$5a^2\sqrt[5]{-32a^5} = 5a^2\sqrt[5]{(-2)^5 a^5} = 5a^2\sqrt[5]{(-2a)^5}$.
Показатель корня $n=5$ — нечетное число, поэтому $\sqrt[5]{(-2a)^5} = -2a$.
Теперь выполним умножение:
$5a^2 \cdot (-2a) = -10a^{2+1} = -10a^3$.
Ответ: $-10a^3$.