Номер 2.64, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.64. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{4}; $

б) $ \sqrt[7]{-5} \cdot \sqrt[14]{25}; $

в) $ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[6]{8}; $

г) $ \sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3}; $

д) $ \frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}; $

е) $ \frac{\sqrt[8]{8^3} \cdot \sqrt[40]{8}}{\sqrt[5]{8^4}}. $

Для определения, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить каждое выражение. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным.

а) Упростим выражение $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{4}$.

Для этого представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$:

$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3}$

$\sqrt[6]{4} = 4^{1/6}$

Теперь перемножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели:

$4^{1/3} \cdot 4^{1/6} = 4^{1/3 + 1/6}$

Приведем показатели к общему знаменателю:

$1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2$

В результате получаем:

$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$

Число 2 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: 2, рациональное число.

б) Упростим выражение $\sqrt[7]{-5} \cdot \sqrt[14]{25}$.

Поскольку корень нечетной степени из отрицательного числа можно вынести знак минус, имеем $\sqrt[7]{-5} = -\sqrt[7]{5}$.

Представим число 25 как $5^2$ и упростим второй множитель:

$\sqrt[14]{25} = \sqrt[14]{5^2} = 5^{2/14} = 5^{1/7} = \sqrt[7]{5}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$-\sqrt[7]{5} \cdot \sqrt[7]{5} = -(\sqrt[7]{5})^2 = -\sqrt[7]{5^2} = -\sqrt[7]{25}$

Число 25 не является седьмой степенью какого-либо рационального числа, поэтому $\sqrt[7]{25}$ — иррациональное число.

Ответ: $-\sqrt[7]{25}$, иррациональное число.

в) Упростим выражение $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[6]{8}$.

Сначала перемножим корни с одинаковым показателем 6:

$\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2 \cdot 8} = \sqrt[6]{16}$

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{16}$.

Представим оба множителя как степени числа 2. Заметим, что $16 = 2^4$.

$\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$

$\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{4/6} = 2^{2/3}$

Теперь перемножим степени:

$2^{1/3} \cdot 2^{2/3} = 2^{1/3 + 2/3} = 2^{3/3} = 2^1 = 2$

Число 2 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: 2, рациональное число.

г) Упростим выражение $\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3}$.

Представим все множители в виде степеней с основанием 3:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/6} \cdot 3^{1/12}$

Сложим показатели степеней:

$3^{1/2 + 1/6 + 1/12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4$

В результате получаем:

$3^{3/4} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$

Число 27 не является четвертой степенью какого-либо рационального числа, поэтому $\sqrt[4]{27}$ — иррациональное число.

Ответ: $\sqrt[4]{27}$, иррациональное число.

д) Упростим выражение $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$.

Заметим, что $343 = 7^3$. Представим все члены выражения как степени числа 7:

$\frac{7^{1/3} \cdot (7^3)^{1/4}}{7^{1/12}} = \frac{7^{1/3} \cdot 7^{3/4}}{7^{1/12}}$

В числителе сложим показатели: $1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12$.

Выражение примет вид: $\frac{7^{13/12}}{7^{1/12}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$7^{13/12 - 1/12} = 7^{12/12} = 7^1 = 7$

Число 7 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: 7, рациональное число.

е) Упростим выражение $\frac{\sqrt[8]{8^3} \cdot \sqrt[40]{8}}{\sqrt[5]{8^4}}$.

Представим все члены выражения в виде степеней с основанием 8:

$\frac{8^{3/8} \cdot 8^{1/40}}{8^{4/5}}$

Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели:

$3/8 + 1/40 = 15/40 + 1/40 = 16/40 = 2/5$

Выражение примет вид: $\frac{8^{2/5}}{8^{4/5}}$.

Теперь выполним деление, вычтя показатели:

$8^{2/5 - 4/5} = 8^{-2/5}$

Преобразуем полученный результат:

$8^{-2/5} = \frac{1}{8^{2/5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{64}}$

Так как 64 не является пятой степенью рационального числа, то $\sqrt[5]{64}$ — иррациональное число. Можно также упростить: $\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{32 \cdot 2} = 2\sqrt[5]{2}$.

Результат $\frac{1}{2\sqrt[5]{2}}$ является иррациональным числом.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{64}}$, иррациональное число.