Номер 2.79, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.79. Найдите значение частного:

a) $\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{256}}$;

в) $\frac{\sqrt[4]{1250}}{\sqrt[4]{2}}$;

г) $\frac{\sqrt[3]{-128}}{\sqrt[3]{2000}}$.

Для решения данных примеров воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $ (при $b \neq 0$; если степень $n$ четная, то $a \ge 0$ и $b > 0$).

а) Применим свойство для кубических корней.
Объединяем частное корней в корень из частного:
$ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} $
Выполняем деление под знаком корня:
$ \sqrt[3]{8} $
Вычисляем значение корня. Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

б) Применим свойство для корней седьмой степени.
Объединяем частное корней в корень из частного:
$ \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{256}} = \sqrt[7]{\frac{2}{256}} $
Сокращаем дробь под знаком корня:
$ \sqrt[7]{\frac{1}{128}} $
Вычисляем значение корня. Так как $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{128} = 2$.
$ \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}} = \frac{1}{2} $
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Применим свойство для корней четвертой степени.
Объединяем частное корней в корень из частного:
$ \frac{\sqrt[4]{1250}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{1250}{2}} $
Выполняем деление под знаком корня:
$ \sqrt[4]{625} $
Вычисляем значение корня. Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5

г) Применим свойство для кубических корней. Степень корня нечетная, поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным.
Объединяем частное корней в корень из частного:
$ \frac{\sqrt[3]{-128}}{\sqrt[3]{2000}} = \sqrt[3]{\frac{-128}{2000}} $
Сокращаем дробь под знаком корня. Можно разделить числитель и знаменатель на 16: $128 \div 16 = 8$ и $2000 \div 16 = 125$. Или можно сокращать поэтапно, например, на 8, а затем на 2.
$ \sqrt[3]{-\frac{128}{2000}} = \sqrt[3]{-\frac{8}{125}} $
Выносим знак минус из-под знака корня нечетной степени и вычисляем корень из дроби:
$ -\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = -\frac{2}{5} $ (так как $2^3=8$ и $5^3=125$).
Ответ: $-\frac{2}{5}$