Номер 2.82, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.82. Найдите значение выражения, используя свойства корня $n$-й степени:

а) $\sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{9}$;

б) $\sqrt[4]{48} \cdot \sqrt[4]{27}$;

в) $\sqrt[3]{-15} \cdot \sqrt[3]{225}$;

г) $\sqrt[5]{48} \cdot \sqrt[5]{162}$;

д) $\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{40}}$;

е) $\frac{\sqrt[4]{648}}{\sqrt[4]{128}}$.

а) Для решения используем свойство произведения корней n-ой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{216}$.
Так как $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{216} = 6$.
Ответ: 6.

б) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{48} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{48 \cdot 27}$.
Разложим подкоренные выражения на множители: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$ и $27 = 3^3$.
$\sqrt[4]{(2^4 \cdot 3) \cdot 3^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.
Ответ: 6.

в) Применяем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{-15} \cdot \sqrt[3]{225} = \sqrt[3]{-15 \cdot 225}$.
Так как $225 = 15^2$, то выражение равно $\sqrt[3]{-15 \cdot 15^2} = \sqrt[3]{-(15^3)} = -15$.
Ответ: -15.

г) Снова используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{48} \cdot \sqrt[5]{162} = \sqrt[5]{48 \cdot 162}$.
Разложим числа на простые множители: $48 = 3 \cdot 16 = 3 \cdot 2^4$ и $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.
$\sqrt[5]{(3 \cdot 2^4) \cdot (2 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 3)^5} = \sqrt[5]{6^5} = 6$.
Ответ: 6.

д) Для решения используем свойство частного корней n-ой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{40}} = \sqrt[3]{\frac{625}{40}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{625}{40} = \frac{125 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{125}{8}$.
$\sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{5}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

е) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{648}}{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[4]{\frac{648}{128}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{648}{128} = \frac{324}{64} = \frac{162}{32} = \frac{81}{16}$.
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{3}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.