Номер 2.86, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.86. Представьте в виде корней одной и той же степени числа:

а) $ \sqrt[5]{7}, \sqrt{2} \text{ и } \sqrt[10]{3}; $

б) $ \sqrt[4]{3}, \sqrt[6]{5} \text{ и } \sqrt[8]{7}. $

Чтобы представить несколько корней в виде корней одной и той же степени, необходимо привести их к общему показателю. Общим показателем будет наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней исходных корней. Для преобразования используется свойство корня: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

Даны корни со степенями 5, 2 (так как $\sqrt{2} = \sqrt[2]{2}$) и 10.

Найдем наименьшее общее кратное для показателей 5, 2 и 10.
НОК(5, 2, 10) = 10.

Общая степень корня будет 10. Теперь приведем каждый корень к этому показателю:

• Для $\sqrt[5]{7}$ дополнительный множитель равен $10 \div 5 = 2$. Следовательно, $\sqrt[5]{7} = \sqrt[5 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[10]{49}$.
• Для $\sqrt{2}$ дополнительный множитель равен $10 \div 2 = 5$. Следовательно, $\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[10]{32}$.
• Корень $\sqrt[10]{3}$ уже имеет показатель 10, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[10]{49}$, $\sqrt[10]{32}$ и $\sqrt[10]{3}$.

Даны корни со степенями 4, 6 и 8.

Найдем наименьшее общее кратное для показателей 4, 6 и 8.
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
НОК(4, 6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Общая степень корня будет 24. Теперь приведем каждый корень к этому показателю:

• Для $\sqrt[4]{3}$ дополнительный множитель равен $24 \div 4 = 6$. Следовательно, $\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 6]{3^6} = \sqrt[24]{729}$.
• Для $\sqrt[6]{5}$ дополнительный множитель равен $24 \div 6 = 4$. Следовательно, $\sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[24]{625}$.
• Для $\sqrt[8]{7}$ дополнительный множитель равен $24 \div 8 = 3$. Следовательно, $\sqrt[8]{7} = \sqrt[8 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[24]{343}$.

Ответ: $\sqrt[24]{729}$, $\sqrt[24]{625}$ и $\sqrt[24]{343}$.