Номер 2.94, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.94. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $\sqrt[3]{x^3}$;

б) $-2\sqrt[5]{32b^5}$;

в) $10c\sqrt[11]{-c^{11}}$;

г) $3y^5\sqrt[7]{-128y^7}$.

а) Чтобы представить выражение $\sqrt[3]{x^3}$ в виде одночлена, воспользуемся свойством корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n$ верно равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В данном случае степень корня $n=3$ является нечетным числом, поэтому: $\sqrt[3]{x^3} = x$.
Ответ: $x$

б) Рассмотрим выражение $-2\sqrt[5]{32b^5}$.
Сначала упростим корень. Используем свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и представим $32$ как $2^5$: $\sqrt[5]{32b^5} = \sqrt[5]{2^5 \cdot b^5} = \sqrt[5]{(2b)^5}$.
Поскольку степень корня $n=5$ нечетная, применяем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$: $\sqrt[5]{(2b)^5} = 2b$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $-2$: $-2 \cdot (2b) = -4b$.
Ответ: $-4b$

в) Рассмотрим выражение $10c\sqrt[11]{-c^{11}}$.
Степень корня $n=11$ нечетная. Представим подкоренное выражение в виде степени с основанием $-c$: $-c^{11} = (-1) \cdot c^{11} = (-1)^{11} \cdot c^{11} = (-c)^{11}$.
Тогда выражение примет вид: $10c\sqrt[11]{(-c)^{11}}$.
Упрощаем корень, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$: $\sqrt[11]{(-c)^{11}} = -c$.
Умножаем на множитель перед корнем: $10c \cdot (-c) = -10c^2$.
Ответ: $-10c^2$

г) Рассмотрим выражение $3y^5\sqrt[7]{-128y^7}$.
Степень корня $n=7$ нечетная. Упростим подкоренное выражение. Заметим, что $-128 = (-2)^7$. $-128y^7 = (-2)^7 \cdot y^7 = (-2y)^7$.
Подставим это в исходное выражение: $3y^5\sqrt[7]{(-2y)^7}$.
Упрощаем корень по свойству $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$: $\sqrt[7]{(-2y)^7} = -2y$.
Выполняем умножение: $3y^5 \cdot (-2y) = (3 \cdot -2) \cdot (y^5 \cdot y^1) = -6y^{5+1} = -6y^6$.
Ответ: $-6y^6$