Номер 2.126, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.126. Упростите выражение:

a) $(\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[3]{4};$

б) $3\sqrt[5]{3} \cdot (4\sqrt[5]{729} + \sqrt[5]{3});$

в) $(7\sqrt[7]{2} - 4\sqrt[7]{256}) : \sqrt[7]{2};$

г) $(\sqrt[3]{135} + 2\sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{40}) : (2\sqrt[3]{5}).$

а) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого представим $\sqrt[3]{16}$ в виде, удобном для вычитания.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[3]{4}$
Упростим выражение в скобках:
$(2-1)\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$
Используем свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$
Вычисляем значение кубического корня:
$\sqrt[3]{8} = 2$
Ответ: 2

б) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого упростим корень $\sqrt[5]{729}$.
$729 = 3^6 = 3^5 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[5]{729} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = 3\sqrt[5]{3}$.
Подставим это в исходное выражение:
$3\sqrt[5]{3} \cdot (4 \cdot (3\sqrt[5]{3}) + 5\sqrt[5]{3})$
Упростим выражение в скобках, выполнив умножение и сложение:
$3\sqrt[5]{3} \cdot (12\sqrt[5]{3} + 5\sqrt[5]{3}) = 3\sqrt[5]{3} \cdot (17\sqrt[5]{3})$
Теперь перемножим множители, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$(3 \cdot 17) \cdot (\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{3}) = 51 \cdot \sqrt[5]{3^2} = 51\sqrt[5]{9}$
Ответ: $51\sqrt[5]{9}$

в) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого упростим корень $\sqrt[7]{256}$.
$256 = 2^8 = 2^7 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt[7]{256} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 2} = 2\sqrt[7]{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(7\sqrt[7]{2} - 4 \cdot (2\sqrt[7]{2})) : \sqrt[7]{2}$
Упростим выражение в скобках:
$(7\sqrt[7]{2} - 8\sqrt[7]{2}) : \sqrt[7]{2} = (-1 \cdot \sqrt[7]{2}) : \sqrt[7]{2}$
Выполним деление, используя свойство $\sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{a} = 1$:
$\frac{-\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{2}} = -1$
Ответ: -1

г) Сначала упростим выражение в скобках (делимое), вынеся общие множители из-под знаков корней, чтобы привести их к одному виду.
$\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$
$2\sqrt[3]{320} = 2\sqrt[3]{64 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 2 \cdot 4\sqrt[3]{5} = 8\sqrt[3]{5}$
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$
Подставим упрощенные слагаемые в делимое и выполним действия:
$3\sqrt[3]{5} + 8\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5} = (3 + 8 - 2)\sqrt[3]{5} = 9\sqrt[3]{5}$
Теперь выполним деление полученного выражения на делитель $2\sqrt[3]{5}$:
$\frac{9\sqrt[3]{5}}{2\sqrt[3]{5}} = \frac{9}{2}$
Получили неправильную дробь. Выделим из нее целую часть:
$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$
Ответ: $4\frac{1}{2}$