Номер 2.131, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.131. Вычислите:

а) $\sqrt[3]{-2\sqrt{2}} + \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{2};$

б) $\frac{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[6]{25} \cdot \sqrt{5}}.$

a) Для решения данного примера $\sqrt[3]{-2\sqrt{2}} + \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt[3]{-2\sqrt{2}}$.
Поскольку корень нечетной степени, знак "минус" можно вынести за знак корня: $\sqrt[3]{-2\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$.
Внесем множитель 2 под знак квадратного корня: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
Выражение примет вид: $-\sqrt[3]{\sqrt{8}}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получим: $-\sqrt[3 \cdot 2]{8} = -\sqrt[6]{8}$.
Представим 8 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$.
$-\sqrt[6]{2^3} = -2^{\frac{3}{6}} = -2^{\frac{1}{2}} = -\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$.
Представим корни в виде степеней с рациональными показателями и воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

3. Сложим полученные результаты:
$-\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$.

Ответ: a) $0$

б) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[6]{25} \cdot \sqrt{5}}$ представим все числа в виде степеней с основанием 5.

1. Преобразуем числитель дроби: $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[3]{25}$.
$\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$
Перемножим степени в числителе:
$5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{12} + \frac{8}{12}} = 5^{\frac{11}{12}}$.

2. Преобразуем знаменатель дроби: $\sqrt[6]{25} \cdot \sqrt{5}$.
$\sqrt[6]{25} = \sqrt[6]{5^2} = 5^{\frac{2}{6}} = 5^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
Перемножим степени в знаменателе:
$5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 5^{\frac{5}{6}}$.

3. Выполним деление числителя на знаменатель.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m / a^n = a^{m-n}$):
$\frac{5^{\frac{11}{12}}}{5^{\frac{5}{6}}} = 5^{\frac{11}{12} - \frac{5}{6}} = 5^{\frac{11}{12} - \frac{10}{12}} = 5^{\frac{1}{12}}$.
Результат можно записать в виде корня: $\sqrt[12]{5}$.

Ответ: б) $\sqrt[12]{5}$