Номер 2.137, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.137. Разложите на множители выражение:

а) $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{24};$

б) $\sqrt[3]{3} - 3;$

в) $\sqrt[4]{5} - 15;$

г) $\sqrt[4]{45} + \sqrt{3}.$

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{24}$, необходимо сначала упростить каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
1. Упростим $\sqrt[3]{16}$. Найдем такой множитель числа 16, который является полным кубом. Это 8, так как $8=2^3$.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.
2. Упростим $\sqrt[3]{24}$. Множителем числа 24, который является полным кубом, также является 8.
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.
3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{3}$.
4. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})$.
Ответ: $2(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt[3]{3} - 3$, нужно найти общий множитель. Для этого представим число 3 в виде выражения с $\sqrt[3]{3}$.
1. Мы знаем, что любое число $a$ можно представить как $(\sqrt[3]{a})^3$. Таким образом, $3 = (\sqrt[3]{3})^3$.
2. Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt[3]{3} - 3 = \sqrt[3]{3} - (\sqrt[3]{3})^3$.
3. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt[3]{3}$:
$\sqrt[3]{3}(1 - (\sqrt[3]{3})^2)$.
4. Упростим выражение в скобках: $(\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Получаем: $\sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[3]{9})$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[3]{9})$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt[4]{5} - 15$, поступим аналогично предыдущему пункту.
1. Представим число 15 как $3 \cdot 5$.
2. Затем представим число 5 через корень четвертой степени из 5: $5 = (\sqrt[4]{5})^4$.
3. Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt[4]{5} - 15 = \sqrt[4]{5} - 3 \cdot 5 = \sqrt[4]{5} - 3(\sqrt[4]{5})^4$.
4. Теперь вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[4]{5}$:
$\sqrt[4]{5}(1 - 3(\sqrt[4]{5})^3)$.
5. Упростим выражение в скобках: $(\sqrt[4]{5})^3 = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$.
Получаем: $\sqrt[4]{5}(1 - 3\sqrt[4]{125})$.
Ответ: $\sqrt[4]{5}(1 - 3\sqrt[4]{125})$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt[4]{45} + \sqrt{3}$, сначала упростим член $\sqrt[4]{45}$.
1. Разложим подкоренное выражение 45 на множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
2. Подставим это в корень: $\sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5}$.
3. Используем свойство корней $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$\sqrt[4]{3^2 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2} \cdot \sqrt[4]{5} = 3^{2/4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3^{1/2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5}$.
4. Теперь подставим упрощенное выражение в исходное:
$\sqrt[4]{45} + \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5} + \sqrt{3}$.
5. Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$\sqrt{3}(\sqrt[4]{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt[4]{5} + 1)$.