Номер 2.143, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.143. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt[4]{a} + 1}$;

б) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

В) $\frac{\sqrt[12]{x} + 3}{\sqrt[6]{x} - 9}$;

Г) $\frac{m - \sqrt[4]{m^7}}{\sqrt{m} - \sqrt[4]{m}}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt[4]{a} + 1}$, представим числитель в виде разности квадратов. Для этого заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $1 = 1^2$.
Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$\sqrt{a} - 1 = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = (\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1)}{\sqrt[4]{a} + 1}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sqrt[4]{a} + 1 \neq 0$, что всегда верно для области определения выражения).
Ответ: $\sqrt[4]{a} - 1$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$.
Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt[3]{b^2} = (b^2)^{1/3} = b^{2/3} = (b^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{b})^2$.
Применим формулу разности квадратов к числителю:
$\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b})$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$.
Сократив общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})$, получим:
Ответ: $\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[12]{x} + 3}{\sqrt[6]{x} - 9}$.
Представим знаменатель в виде разности квадратов. Для этого заметим, что $\sqrt[6]{x} = (\sqrt[12]{x})^2$ и $9 = 3^2$.
Используя формулу разности квадратов, разложим знаменатель на множители:
$\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{\sqrt[12]{x} + 3}{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$:
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[12]{x} - 3}$.

г) Сократим дробь $\frac{m - \sqrt[4]{m^7}}{\sqrt{m} - \sqrt[4]{m}}$.
Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе вынесем $m = \sqrt[4]{m^4}$, в знаменателе вынесем $\sqrt[4]{m}$.
Числитель: $m - \sqrt[4]{m^7} = m - m^{7/4} = m(1 - m^{7/4-1}) = m(1-m^{3/4})$.
Знаменатель: $\sqrt{m} - \sqrt[4]{m} = m^{1/2} - m^{1/4} = m^{2/4} - m^{1/4} = m^{1/4}(m^{1/4}-1) = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)$.
Дробь примет вид: $\frac{m(1-m^{3/4})}{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$.
Выражение $1-m^{3/4}$ является разностью кубов: $1 - (\sqrt[4]{m})^3 = (1-\sqrt[4]{m})(1+\sqrt[4]{m}+(\sqrt[4]{m})^2) = (1-\sqrt[4]{m})(1+\sqrt[4]{m}+\sqrt{m})$.
Подставляем в дробь:
$\frac{m(1-\sqrt[4]{m})(1+\sqrt[4]{m}+\sqrt{m})}{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$.
Заметив, что $1-\sqrt[4]{m} = -(\sqrt[4]{m}-1)$, можем сократить множитель $(\sqrt[4]{m}-1)$:
$\frac{m \cdot (-1) \cdot (1+\sqrt[4]{m}+\sqrt{m})}{\sqrt[4]{m}} = -\frac{m}{\sqrt[4]{m}}(1+\sqrt[4]{m}+\sqrt{m})$.
Упростим частное $\frac{m}{\sqrt[4]{m}} = \frac{m^1}{m^{1/4}} = m^{1-1/4} = m^{3/4} = \sqrt[4]{m^3}$.
Получаем: $-\sqrt[4]{m^3}(1+\sqrt[4]{m}+\sqrt{m})$.
Раскроем скобки для окончательного ответа:
$-(\sqrt[4]{m^3} \cdot 1 + \sqrt[4]{m^3} \cdot \sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{m^3} \cdot \sqrt{m}) = -(\sqrt[4]{m^3} + \sqrt[4]{m^4} + \sqrt[4]{m^5}) = -(\sqrt[4]{m^3} + m + m\sqrt[4]{m})$.
Ответ: $-m - \sqrt[4]{m^3} - m\sqrt[4]{m}$.