Номер 2.142, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.142. Найдите значение выражения:

a) $\frac{4-3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8})^2}$;

б) $\frac{(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3}+3\sqrt{6}}$.

a) Для нахождения значения выражения выполним следующие шаги.
1. Упростим знаменатель $(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8})^2$.
Сначала преобразуем корень $\sqrt[4]{8}$:
$\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2}\sqrt{2}$.
Теперь выражение в скобках в знаменателе можно переписать, вынеся общий множитель $\sqrt[4]{2}$:
$\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2}\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2})$.
Возведем полученное выражение в квадрат:
$(\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2}))^2 = (\sqrt[4]{2})^2 \cdot (1 - \sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot (1^2 - 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = \sqrt{2} \cdot (1 - 2\sqrt{2} + 2) = \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2})$.
Раскрыв скобки, получаем: $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4$.
2. Подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$\frac{4-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}$.
Заметим, что числитель является противоположным по знаку знаменателю: $4-3\sqrt{2} = -(3\sqrt{2}-4)$.
Таким образом, дробь можно сократить:
$\frac{-(3\sqrt{2}-4)}{3\sqrt{2}-4} = -1$.
Ответ: -1

б) Для нахождения значения выражения выполним следующие шаги.
1. Упростим числитель $(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6})^2$.
Сначала преобразуем корень $\sqrt[4]{24}$:
$\sqrt[4]{24} = \sqrt[4]{6 \cdot 4} = \sqrt[4]{6} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{6}\sqrt{2}$.
Теперь выражение в скобках в числителе можно переписать, вынеся общий множитель $\sqrt[4]{6}$:
$\sqrt[4]{6}\sqrt{2} + \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1)$.
Возведем полученное выражение в квадрат:
$(\sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1))^2 = (\sqrt[4]{6})^2 \cdot (\sqrt{2} + 1)^2 = \sqrt{6} \cdot ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2) = \sqrt{6} \cdot (2 + 2\sqrt{2} + 1) = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2})$.
Раскрыв скобки, получаем: $3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12}$.
Упростим $2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Итак, числитель равен $3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}$.
2. Подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:
$\frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$.
Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}$), числитель и знаменатель равны.
Следовательно, значение выражения равно 1.
Ответ: 1